ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 36

1) Решим неравенство $\cos x \geqslant \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$. Общее решение неравенства имеет вид: $$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$: * При $k = 0$: отрезок $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right]$ пересекается с $[0; 3\pi]$ по промежутку $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$. * При $k = 1$: получаем отрезок $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi; \frac{\pi}{3} + 2\pi\right] = \left[\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right]$. Так как $\frac{7\pi}{3} \leqslant 3\pi$, весь отрезок $\left[\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right]$ лежит внутри $[0; 3\pi]$. * При $k = 2$: левая граница $-\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} > 3\pi$, решений на рассматриваемом отрезке нет. * При $k \leqslant -1$: правая граница $\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leqslant -\frac{5\pi}{3} < 0$, решений нет. Ответ: $\left[0; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right]$. --- 2) Решим неравенство $\cos x \geqslant -\frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$. Общее решение неравенства имеет вид: $$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \leqslant x \leqslant \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$: * При $k = 0$: отрезок $\left[-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right]$ пересекается с $[0; 3\pi]$ по промежутку $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$. * При $k = 1$: получаем отрезок $\left[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi; \frac{2\pi}{3} + 2\pi\right] = \left[\frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\right]$. Поскольку $\frac{8\pi}{3} = 2\frac{2}{3}\pi \leqslant 3\pi$, весь промежуток входит в $[0; 3\pi]$. * При $k = 2$: левая граница $-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$, решений на отрезке нет. * При $k \leqslant -1$: правая граница неположительна, решений на отрезке нет. Ответ: $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\right]$. --- 3) Решим неравенство $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$. Общее решение строгого неравенства имеет вид: $$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$: * При $k = 0$: интервал $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right)$ целиком содержится в $[0; 3\pi]$. * При $k = 1$: интервал $\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi; \frac{5\pi}{4} + 2\pi\right) = \left(\frac{11\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}\right)$. Правая граница отрезка равна $3\pi$, при этом $\frac{11\pi}{4} < 3\pi < \frac{13\pi}{4}$. Так как $\cos(3\pi) = -1 < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, в точке $x = 3\pi$ неравенство выполняется, поэтому правый конец $3\pi$ включается в решение: $\left(\frac{11\pi}{4}; 3\pi\right]$. * При остальных целых $k$ интервалы не пересекаются с отрезком $[0; 3\pi]$. Ответ: $\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{4}; 3\pi\right]$. --- 4) Решим неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$. Общее решение строгого неравенства имеет вид: $$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 3\pi]$: * При $k = 0$: интервал $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right)$ целиком содержится в $[0; 3\pi]$. * При $k = 1$: интервал $\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi; \frac{11\pi}{6} + 2\pi\right) = \left(\frac{13\pi}{6}; \frac{23\pi}{6}\right)$. Поскольку $\frac{13\pi}{6} < 3\pi < \frac{23\pi}{6}$, и в точке $x = 3\pi$ значение $\cos(3\pi) = -1 < \frac{\sqrt{3}}{2}$, граничная точка $3\pi$ включается в решение: $\left(\frac{13\pi}{6}; 3\pi\right]$. * При остальных целых $k$ интервалы не имеют общих точек с отрезком $[0; 3\pi]$. Ответ: $\left(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{13\pi}{6}; 3\pi\right]$.