ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 35

Для нахождения корней уравнений с помощью графика функции $y = \cos x$ рассмотрим график косинусоиды на отрезке $[0; 3\pi]$. Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения графика $y = \cos x$ и горизонтальной прямой $y = m$, где $m$ — значение в правой части уравнения. Отрезок $[0; 3\pi]$ состоит из полутора периодов функции: - на отрезке $[0; \pi]$ функция убывает от $1$ до $-1$; - на отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция возрастает от $-1$ до $1$; - на отрезке $[2\pi; 3\pi]$ функция снова убывает от $1$ до $-1$. --- ### 1) $\cos x = \frac{1}{2}$ Прямая $y = \frac{1}{2}$ пересекает график функции $y = \cos x$ на отрезке $[0; 3\pi]$ в трёх точках: 1. На промежутке убывания $[0; \pi]$: $$ x_1 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $$ 2. На промежутке возрастания $[\pi; 2\pi]$, учитывая симметрию относительно точки минимума $(\pi; -1)$ или периодичность: $$ x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $$ 3. На промежутке $[2\pi; 3\pi]$, используя период $2\pi$: $$ x_3 = x_1 + 2\pi = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $$ Следующая точка пересечения $x = x_2 + 2\pi = \frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{11\pi}{3} > 3\pi$ не принадлежит заданному отрезку. **Ответ:** $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$. --- ### 2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Прямая $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает график $y = \cos x$ на отрезке $[0; 3\pi]$ в трёх точках: 1. На промежутке $[0; \pi]$: $$ x_1 = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $$ 2. На промежутке $[\pi; 2\pi]$: $$ x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} $$ 3. На промежутке $[2\pi; 3\pi]$: $$ x_3 = x_1 + 2\pi = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $$ Следующая точка $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{15\pi}{4} > 3\pi$ выходит за пределы отрезка $[0; 3\pi]$. **Ответ:** $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$. --- ### 3) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Прямая $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает график $y = \cos x$ на отрезке $[0; 3\pi]$ в трёх точках: 1. На промежутке $[0; \pi]$: $$ x_1 = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $$ 2. На промежутке $[\pi; 2\pi]$: $$ x_2 = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $$ 3. На промежутке $[2\pi; 3\pi]$: $$ x_3 = x_1 + 2\pi = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} $$ Следующая точка $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} > 3\pi$ не принадлежит отрезку. **Ответ:** $\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$. --- ### 4) $\cos x = -\frac{1}{2}$ Прямая $y = -\frac{1}{2}$ пересекает график $y = \cos x$ на отрезке $[0; 3\pi]$ в трёх точках: 1. На промежутке $[0; \pi]$: $$ x_1 = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$ 2. На промежутке $[\pi; 2\pi]$: $$ x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $$ 3. На промежутке $[2\pi; 3\pi]$: $$ x_3 = x_1 + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} $$ Следующая точка $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$ не принадлежит отрезку. **Ответ:** $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.