ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 39

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$ Найдем общее решение уравнения: $$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $2$: $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберем корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$. Приведем границы промежутка к знаменателю $6$: $$ -\frac{3\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{9\pi}{6} $$ Рассмотрим две серии решений: а) $x = \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{1 + 6k}{6}\pi$: * при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$ (не принадлежит промежутку, так как $-\frac{5\pi}{6} < -\frac{3\pi}{6}$); * при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$ (принадлежит промежутку); * при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ (принадлежит промежутку, так как $\frac{7\pi}{6} \leqslant \frac{9\pi}{6}$); * при $k = 2$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ (не принадлежит промежутку, так как $\frac{13\pi}{6} > \frac{9\pi}{6}$). б) $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{-1 + 6k}{6}\pi$: * при $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$ (не принадлежит промежутку); * при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{6}$ (принадлежит промежутку, так как $-\frac{3\pi}{6} \leqslant -\frac{\pi}{6}$); * при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$ (принадлежит промежутку); * при $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ (не принадлежит промежутку, так как $\frac{11\pi}{6} > \frac{9\pi}{6}$). Ответ к пункту 1: $-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$. --- 2) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Найдем общее решение уравнения: $$ 3x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $3$: $$ x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберем корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$. Приведем границы промежутка к знаменателю $18$: $$ -\frac{9\pi}{18} \leqslant x \leqslant \frac{27\pi}{18} $$ Период $\frac{2\pi k}{3} = \frac{12\pi k}{18}$. Рассмотрим две серии решений: а) $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{1 + 12k}{18}\pi$: * при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{18} - \frac{12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18}$ (не принадлежит промежутку, так как $-\frac{11\pi}{18} < -\frac{9\pi}{18}$); * при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{18}$ (принадлежит промежутку); * при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18}$ (принадлежит промежутку); * при $k = 2$: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18}$ (принадлежит промежутку, так как $\frac{25\pi}{18} \leqslant \frac{27\pi}{18}$); * при $k = 3$: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{36\pi}{18} = \frac{37\pi}{18}$ (не принадлежит промежутку, так как $\frac{37\pi}{18} > \frac{27\pi}{18}$). б) $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{-1 + 12k}{18}\pi$: * при $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18}$ (не принадлежит промежутку, так как $-\frac{13\pi}{18} < -\frac{9\pi}{18}$); * при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{18}$ (принадлежит промежутку, так как $-\frac{9\pi}{18} \leqslant -\frac{\pi}{18}$); * при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}$ (принадлежит промежутку); * при $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{24\pi}{18} = \frac{23\pi}{18}$ (принадлежит промежутку, так как $\frac{23\pi}{18} \leqslant \frac{27\pi}{18}$); * при $k = 3$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{36\pi}{18} = \frac{35\pi}{18}$ (не принадлежит промежутку, так как $\frac{35\pi}{18} > \frac{27\pi}{18}$). Ответ к пункту 2: $-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{18}; \frac{11\pi}{18}; \frac{13\pi}{18}; \frac{23\pi}{18}; \frac{25\pi}{18}$.