ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 34

1) Сравним числа $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{8\pi}{9}$. Числа $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\pi}{7} = \frac{9\pi}{63}, \quad \frac{8\pi}{9} = \frac{56\pi}{63} $$ Так как $\frac{9\pi}{63} < \frac{56\pi}{63}$, то $\frac{\pi}{7} < \frac{8\pi}{9}$. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; \pi]$, поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит, $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$. --- 2) Сравним числа $\cos \frac{8\pi}{7}$ и $\cos \frac{10\pi}{7}$. Числа $\frac{8\pi}{7}$ и $\frac{10\pi}{7}$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, так как $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7} < 2\pi$. Сравним аргументы: $\frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7}$. Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[\pi; 2\pi]$, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Значит, $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$. --- 3) Сравним числа $\cos \left( -\frac{6\pi}{7} \right)$ и $\cos \left( -\frac{\pi}{8} \right)$. Функция косинуса чётная, то есть $\cos(-x) = \cos x$. Поэтому: $$ \cos \left( -\frac{6\pi}{7} \right) = \cos \frac{6\pi}{7}, \quad \cos \left( -\frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{8} $$ Числа $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{6\pi}{7}$ принадлежат отрезку $[0; \pi]$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{56}, \quad \frac{6\pi}{7} = \frac{48\pi}{56} $$ Так как $\frac{7\pi}{56} < \frac{48\pi}{56}$, то $\frac{\pi}{8} < \frac{6\pi}{7}$. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; \pi]$, следовательно, $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{6\pi}{7}$, то есть $\cos \frac{6\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{8}$. Значит, $\cos \left( -\frac{6\pi}{7} \right) < \cos \left( -\frac{\pi}{8} \right)$. --- 4) Сравним числа $\cos \left( -\frac{8\pi}{7} \right)$ и $\cos \left( -\frac{9\pi}{7} \right)$. Используем свойство чётности косинуса: $$ \cos \left( -\frac{8\pi}{7} \right) = \cos \frac{8\pi}{7}, \quad \cos \left( -\frac{9\pi}{7} \right) = \cos \frac{9\pi}{7} $$ Оба аргумента принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$, так как $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{9\pi}{7} < 2\pi$. Сравним аргументы: $\frac{8\pi}{7} < \frac{9\pi}{7}$. Так как на отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция $y = \cos x$ возрастает, то $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{9\pi}{7}$. Значит, $\cos \left( -\frac{8\pi}{7} \right) < \cos \left( -\frac{9\pi}{7} \right)$. --- 5) Сравним числа $\cos 1$ и $\cos 3$. Оценим аргументы, выраженные в радианах: так как $\pi \approx 3{,}14$, то $0 < 1 < 3 < \pi$, то есть $1, 3 \in [0; \pi]$. Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; \pi]$. Поскольку $1 < 3$, то $\cos 1 > \cos 3$. --- 6) Сравним числа $\cos 4$ и $\cos 5$. Оценим аргументы в радианах: так как $\pi \approx 3{,}14$, а $2\pi \approx 6{,}28$, то $\pi < 4 < 5 < 2\pi$, то есть $4, 5 \in [\pi; 2\pi]$. Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[\pi; 2\pi]$. Поскольку $4 < 5$, то $\cos 4 < \cos 5$. --- Ответ: 1) $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{8\pi}{9}$; 2) $\cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7}$; 3) $\cos \left( -\frac{6\pi}{7} \right) < \cos \left( -\frac{\pi}{8} \right)$; 4) $\cos \left( -\frac{8\pi}{7} \right) < \cos \left( -\frac{9\pi}{7} \right)$; 5) $\cos 1 > \cos 3$; 6) $\cos 4 < \cos 5$.