ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 342

Пусть сторона вырезаемых по углам квадратов равна $x$. При загибании образовавшихся краёв получается открытая коробка со следующими размерами: — высота коробки равна $h = x$; — основанием коробки является квадрат со стороной $a - 2x$. Так как линейные размеры коробки должны быть положительными, на переменную $x$ накладываются ограничения: $$ \begin{cases} x > 0, \\ a - 2x > 0 \end{cases} \implies 0 < x < \frac{a}{2} $$ Объём коробки выражается как функция от $x$: $$ V(x) = (a - 2x)^2 \cdot x $$ Раскроем скобки: $$ V(x) = (a^2 - 4ax + 4x^2)x = 4x^3 - 4ax^2 + a^2x $$ Исследуем функцию $V(x)$ на наибольшее значение на интервале $\left(0; \frac{a}{2}\right)$ с помощью производной: $$ V'(x) = (4x^3 - 4ax^2 + a^2x)' = 12x^2 - 8ax + a^2 $$ Найдём критические точки, решив уравнение $V'(x) = 0$: $$ 12x^2 - 8ax + a^2 = 0 $$ $$ D = (-8a)^2 - 4 \cdot 12 \cdot a^2 = 64a^2 - 48a^2 = 16a^2 = (4a)^2 $$ $$ x_1 = \frac{8a - 4a}{2 \cdot 12} = \frac{4a}{24} = \frac{a}{6} $$ $$ x_2 = \frac{8a + 4a}{2 \cdot 12} = \frac{12a}{24} = \frac{a}{2} $$ Интервалу $\left(0; \frac{a}{2}\right)$ принадлежит только точка $x_1 = \frac{a}{6}$. Определим знаки производной $V'(x)$ на интервале $\left(0; \frac{a}{2}\right)$: — при $x \in \left(0; \frac{a}{6}\right)$ производная $V'(x) > 0$, следовательно, функция $V(x)$ возрастает; — при $x \in \left(\frac{a}{6}; \frac{a}{2}\right)$ производная $V'(x) < 0$, следовательно, функция $V(x)$ убывает. Так как при переходе через точку $x = \frac{a}{6}$ производная меняет знак с плюса на минус, то $x = \frac{a}{6}$ — точка максимума. Поскольку это единственная экстремальная точка на рассматриваемом интервале, функция $V(x)$ достигает в ней своего наибольшего значения. Таким образом, высота коробки должна быть равна $\frac{a}{6}$. Ответ: $\frac{a}{6}$.