ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 340

Пусть радиус полукруга равен $r$. Тогда ширина прямоугольника (диаметр полукруга) равна $2r$. Обозначим высоту прямоугольной части сечения через $h$. Периметр сечения состоит из нижнего основания прямоугольника, двух его боковых сторон и длины дуги верхнего полукруга: $$p = 2r + 2h + \pi r$$ Выразим отсюда величину $2h$: $$2h = p - (\pi + 2)r$$ Откуда высота $h$: $$h = \frac{p - (\pi + 2)r}{2}$$ Геометрический смысл задачи требует, чтобы величины $r$ и $h$ были положительными: $$r > 0, \quad p - (\pi + 2)r > 0 \implies 0 < r < \frac{p}{\pi + 2}$$ Площадь сечения тоннеля складывается из площади прямоугольника и площади полукруга: $$S = S_{\text{прям}} + S_{\text{полукруг}} = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2$$ Подставим выражение для $2h$: $$S(r) = r(p - (\pi + 2)r) + \frac{1}{2}\pi r^2 = pr - \pi r^2 - 2r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 = pr - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2$$ Полученная функция $S(r)$ является квадратичной относительно $r$ с отрицательным старшим коэффициентом $-\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) < 0$, следовательно, она принимает наибольшее значение в вершине параболы (точке максимума). Для нахождения точки максимума найдем производную функции $S(r)$ и приравняем её к нулю: $$S'(r) = p - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = p - (4 + \pi)r$$ $$p - (4 + \pi)r = 0$$ $$r = \frac{p}{4 + \pi}$$ Так как $S''(r) = -(4 + \pi) < 0$, то при $r = \frac{p}{4 + \pi}$ функция действительно достигает своего наибольшего значения. Заметим, что найденное значение $r$ удовлетворяет области допустимых значений: $$0 < \frac{p}{4 + \pi} < \frac{p}{\pi + 2}$$ Ответ: $\frac{p}{\pi + 4}$.