ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 341

Пусть равнобедренный треугольник $ABC$ имеет основание $AC$ и вершину $B$. Высота $BH$, проведённая к основанию $AC$, является осью симметрии треугольника. Квадрат со стороной $a$ расположен так, что одна из его сторон лежит на основании $AC$, а две противоположные вершины квадрата лежат на боковых сторонах $AB$ и $BC$. Высота $BH$ пересекает верхнюю сторону квадрата в точке $K$. Так как сторона квадрата равна $a$, отрезок $KH = a$. По условию $BK = x$, где $x > 0$. Тогда общая высота треугольника равна: $$ h = BH = BK + KH = x + a $$ Верхняя сторона квадрата параллельна основанию $AC$ и отсекает треугольник, подобный треугольнику $ABC$. Основание этого меньшего треугольника равно стороне квадрата $a$, а его высота равна $BK = x$. Из подобия треугольников отношение высот равно отношению оснований: $$ \frac{BK}{BH} = \frac{a}{AC} $$ $$ \frac{x}{x + a} = \frac{a}{AC} $$ Отсюда выразим основание треугольника $AC$: $$ AC = \frac{a(x + a)}{x} $$ Площадь треугольника $ABC$ выражается формулой $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$: $$ S(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a(x + a)}{x} \cdot (x + a) = \frac{a(x + a)^2}{2x} $$ Преобразуем выражение для площади: $$ S(x) = \frac{a}{2} \cdot \frac{x^2 + 2ax + a^2}{x} = \frac{a}{2} \left( x + 2a + \frac{a^2}{x} \right) $$ Исследуем функцию $S(x)$ на наименьшее значение при $x > 0$ с помощью производной: $$ S'(x) = \frac{a}{2} \left( 1 - \frac{a^2}{x^2} \right) = \frac{a(x^2 - a^2)}{2x^2} = \frac{a(x - a)(x + a)}{2x^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ S'(x) = 0 \implies x^2 - a^2 = 0 $$ Учитывая, что $x > 0$ и $a > 0$, получаем критическую точку: $$ x = a $$ Определим знаки производной при переходе через точку $x = a$: — при $0 < x < a$ производная $S'(x) < 0$, функция убывает; — при $x > a$ производная $S'(x) > 0$, функция возрастает. Следовательно, точка $x = a$ является точкой минимума функции $S(x)$, и при этом значении площадь треугольника будет наименьшей. Ответ: $x = a$.