ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 337

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи сумма одного из катетов и гипотенузы равна $l$. Пусть: $$a + c = l$$ Отсюда выразим гипотенузу: $$c = l - a$$ Так как длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике всегда больше длины любого из катетов ($c > a$), а длины сторон положительны, получаем ограничения на переменную $a$: $$l - a > a \implies 2a < l \implies 0 < a < \frac{l}{2}$$ По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, откуда найдем второй катет $b$: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(l - a)^2 - a^2} = \sqrt{l^2 - 2al + a^2 - a^2} = \sqrt{l^2 - 2al}$$ Площадь прямоугольного треугольника выражается формулой: $$S(a) = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a\sqrt{l^2 - 2al}$$ Функция $S(a)$ принимает наибольшее значение в той же точке, что и функция: $$f(a) = 4S^2(a) = a^2(l^2 - 2al) = l^2 a^2 - 2l a^3$$ при $a \in \left(0; \frac{l}{2}\right)$. Найдем производную функции $f(a)$ по переменной $a$: $$f'(a) = (l^2 a^2 - 2l a^3)' = 2l^2 a - 6l a^2 = 2la(l - 3a)$$ Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(a) = 0$: $$2la(l - 3a) = 0$$ Так как $l > 0$ и $a \neq 0$, получаем: $$l - 3a = 0 \implies a = \frac{l}{3}$$ Точка $a = \frac{l}{3}$ принадлежит интервалу $\left(0; \frac{l}{2}\right)$. Определим знак производной на интервалах: - при $a \in \left(0; \frac{l}{3}\right)$ имеем $f'(a) > 0$, функция возрастает; - при $a \in \left(\frac{l}{3}; \frac{l}{2}\right)$ имеем $f'(a) < 0$, функция убывает. Следовательно, $a = \frac{l}{3}$ — точка максимума функции $f(a)$, а значит, и функции $S(a)$. Найдем остальные стороны треугольника при $a = \frac{l}{3}$: $$c = l - a = l - \frac{l}{3} = \frac{2l}{3}$$ $$b = \sqrt{l^2 - 2l \cdot \frac{l}{3}} = \sqrt{\frac{l^2}{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}} = \frac{l\sqrt{3}}{3}$$ Отношение катета $a$ к гипотенузе $c$: $$\frac{a}{c} = \frac{l/3}{2l/3} = \frac{1}{2}$$ Следовательно, угол, лежащий напротив катета $a$, равен $30^\circ$, а второй острый угол равен $60^\circ$. Наибольшая площадь такого треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{l}{3} \cdot \frac{l\sqrt{3}}{3} = \frac{l^2\sqrt{3}}{18}$$ **Ответ:** прямоугольный треугольник с острыми углами $30^\circ$ и $60^\circ$, катетами $\frac{l}{3}$ и $\frac{l\sqrt{3}}{3}$ и гипотенузой $\frac{2l}{3}$ (наибольшая площадь равна $\frac{l^2\sqrt{3}}{18}$).