ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 325

**1)** $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-2; 2]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x $$ 2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 3x(x - 4) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 $$ 3. Отрезку $[-2; 2]$ принадлежит только точка $x = 0$ ($4 \notin [-2; 2]$). 4. Вычислим значения функции в точке $x = 0$ и на концах отрезка: $$ f(-2) = (-2)^3 - 6 \cdot (-2)^2 + 9 = -8 - 24 + 9 = -23 $$ $$ f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 = 9 $$ $$ f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 $$ 5. Сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее: $$ \max_{[-2; 2]} f(x) = f(0) = 9 $$ $$ \min_{[-2; 2]} f(x) = f(-2) = -23 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $9$, наименьшее значение равно $-23$. --- **2)** $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ на отрезке $[-4; 0]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9 $$ 2. Найдем критические точки: $$ 3(x^2 + 4x + 3) = 0 $$ $$ 3(x + 1)(x + 3) = 0 $$ $$ x_1 = -3, \quad x_2 = -1 $$ 3. Обе точки $x = -3$ и $x = -1$ принадлежат отрезку $[-4; 0]$. 4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $$ f(-4) = (-4)^3 + 6 \cdot (-4)^2 + 9 \cdot (-4) = -64 + 96 - 36 = -4 $$ $$ f(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) = -27 + 54 - 27 = 0 $$ $$ f(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) = -1 + 6 - 9 = -4 $$ $$ f(0) = 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 = 0 $$ 5. Сравнивая значения, получаем: $$ \max_{[-4; 0]} f(x) = f(-3) = f(0) = 0 $$ $$ \min_{[-4; 0]} f(x) = f(-4) = f(-1) = -4 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $0$, наименьшее значение равно $-4$. --- **3)** $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-4; 3]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x $$ 2. Найдем критические точки: $$ 4x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 1 $$ 3. Все три точки принадлежат отрезку $[-4; 3]$. 4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $$ f(-4) = (-4)^4 - 2 \cdot (-4)^2 + 3 = 256 - 32 + 3 = 227 $$ $$ f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 $$ $$ f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3 $$ $$ f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 $$ $$ f(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66 $$ 5. Сравнивая полученные результаты: $$ \max_{[-4; 3]} f(x) = f(-4) = 227 $$ $$ \min_{[-4; 3]} f(x) = f(-1) = f(1) = 2 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $227$, наименьшее значение равно $2$. --- **4)** $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2]$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x $$ 2. Найдем критические точки: $$ 4x(x^2 - 4) = 0 $$ $$ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 2 $$ 3. Все точки принадлежат отрезку $[-3; 2]$ (причем $x = 2$ является правым концом отрезка). 4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $$ f(-3) = (-3)^4 - 8 \cdot (-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 $$ $$ f(-2) = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 $$ $$ f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 5 = 5 $$ $$ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 $$ 5. Сравнивая полученные значения: $$ \max_{[-3; 2]} f(x) = f(-3) = 14 $$ $$ \min_{[-3; 2]} f(x) = f(-2) = f(2) = -11 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $14$, наименьшее значение равно $-11$.