ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 264

Пусть дана функция $f(x) = \frac{k}{x}$, где $k > 0$, и точка касания с абсциссой $x_0 \neq 0$. Найдем значение функции и значение производной в точке $x_0$: $$ f(x_0) = \frac{k}{x_0} $$ $$ f'(x) = \left( \frac{k}{x} \right)' = -\frac{k}{x^2} \implies f'(x_0) = -\frac{k}{x_0^2} $$ Составим уравнение касательной по формуле $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$: $$ y = \frac{k}{x_0} - \frac{k}{x_0^2}(x - x_0) $$ $$ y = \frac{k}{x_0} - \frac{k}{x_0^2}x + \frac{k}{x_0} $$ $$ y = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0} $$ 1) Найдем точки пересечения касательной с осями координат: С осью абсцисс ($y = 0$): $$ 0 = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0} $$ $$ \frac{k}{x_0^2}x = \frac{2k}{x_0} \implies x = \frac{2k}{x_0} \cdot \frac{x_0^2}{k} = 2x_0 $$ Точка пересечения с осью $Ox$ — $A(2x_0; 0)$. С осью ординат ($x = 0$): $$ y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot 0 + \frac{2k}{x_0} = \frac{2k}{x_0} $$ Точка пересечения с осью $Oy$ — $B\left(0; \frac{2k}{x_0}\right)$. Треугольник $AOB$ (где $O(0; 0)$ — начало координат) является прямоугольным, так как оси координат взаимно перпендикулярны. Длины его катетов равны: $$ OA = |2x_0| = 2|x_0| $$ $$ OB = \left|\frac{2k}{x_0}\right| = \frac{2k}{|x_0|} \quad (\text{так как } k > 0) $$ Вычислим площадь треугольника: $$ S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2|x_0| \cdot \frac{2k}{|x_0|} = 2k $$ Полученное значение $S = 2k$ не зависит от $x_0$, то есть площадь треугольника не зависит от положения точки касания, что и требовалось доказать. 2) Проверим принадлежность точек прямой, заданной уравнением касательной $y = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0}$: Для точки $\left( x_0; \frac{k}{x_0} \right)$: подставим $x = x_0$: $$ y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot x_0 + \frac{2k}{x_0} = -\frac{k}{x_0} + \frac{2k}{x_0} = \frac{k}{x_0} $$ Получили верное равенство, следовательно, касательная проходит через точку $\left( x_0; \frac{k}{x_0} \right)$. Для точки $(2x_0; 0)$: подставим $x = 2x_0$: $$ y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot (2x_0) + \frac{2k}{x_0} = -\frac{2k}{x_0} + \frac{2k}{x_0} = 0 $$ Получили верное равенство, следовательно, касательная проходит через точку $(2x_0; 0)$. Что и требовалось доказать. **Ответ:** 1) $S = 2k$.