ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 266

1) По условию функция $m = f(t)$ выражает массу сахара, растворившегося в воде от начального момента $t_0$ до момента времени $t$. К моменту времени $t_1$ растворилась масса $f(t_1)$, а к моменту времени $t_2$ — масса $f(t_2)$. Тогда масса сахара $\Delta m$, растворившегося за промежуток времени $[t_1; t_2]$, равна разности этих величин: $$ \Delta m = f(t_2) - f(t_1) $$ 2) Средняя скорость процесса за промежуток времени равна отношению изменения величины к продолжительности этого промежутка. Длительность промежутка времени составляет $\Delta t = t_2 - t_1$. Следовательно, средняя скорость растворения сахара $v_{\text{ср}}$ за промежуток времени $[t_1; t_2]$ определяется формулой: $$ v_{\text{ср}} = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1} $$ 3) Мгновенная скорость растворения сахара $v(t)$ в момент времени $t$ равна пределу средней скорости при стремлении промежутка времени $\Delta t$ к нулю, то есть первой производной функции массы $f(t)$ по времени $t$: $$ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = f'(t) $$ **Ответ:** 1) $f(t_2) - f(t_1)$; 2) $\dfrac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$; 3) $f'(t)$.