ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 262

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ По условию касательные параллельны прямой $y = 6x$, угловой коэффициент которой равен $k = 6$. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем условие: $$ f'(x_0) = 6 $$ 1. Найдём производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2$: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x = x^2 - 5x $$ 2. Найдём абсциссы точек касания, решив уравнение $f'(x_0) = 6$: $$ x_0^2 - 5x_0 = 6 $$ $$ x_0^2 - 5x_0 - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $x_{01} = 6$, $x_{02} = -1$. 3. Составим уравнение касательной для каждой точки касания: * Для $x_{01} = 6$: Вычислим значение функции в этой точке: $$ f(6) = \frac{1}{3} \cdot 6^3 - \frac{5}{2} \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{5}{2} \cdot 36 = 72 - 90 = -18 $$ Подставим $x_{01} = 6$, $f(6) = -18$ и $f'(6) = 6$ в формулу касательной: $$ y = -18 + 6(x - 6) $$ $$ y = -18 + 6x - 36 $$ $$ y = 6x - 54 $$ * Для $x_{02} = -1$: Вычислим значение функции в этой точке: $$ f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - \frac{5}{2} \cdot (-1)^2 = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} = -\frac{2 + 15}{6} = -\frac{17}{6} $$ Подставим $x_{02} = -1$, $f(-1) = -\frac{17}{6}$ и $f'(-1) = 6$ в формулу касательной: $$ y = -\frac{17}{6} + 6(x - (-1)) $$ $$ y = -\frac{17}{6} + 6(x + 1) $$ $$ y = 6x + 6 - \frac{17}{6} $$ $$ y = 6x + \frac{19}{6} $$ Ответ: $y = 6x - 54$ и $y = 6x + \frac{19}{6}$ (или $y = 6x + 3\frac{1}{6}$).