ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 261

Касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна оси $Ox$, если её угловой коэффициент равен нулю, то есть производная функции в точке касания равна нулю: $$ f'(x_0) = 0 $$ Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ При $f'(x_0) = 0$ оно принимает вид $y = f(x_0)$. --- ### 1) $f(x) = x^2 - 4x$ 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4 $$ 2. Найдём абсциссу точки касания из условия $f'(x_0) = 0$: $$ 2x_0 - 4 = 0 $$ $$ 2x_0 = 4 \implies x_0 = 2 $$ 3. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$: $$ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = -4 $$ **Ответ:** $y = -4$. --- ### 2) $f(x) = (x - 1)(x - 2)$ 1. Раскроем скобки в выражении функции: $$ f(x) = x^2 - 3x + 2 $$ 2. Найдём производную: $$ f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3 $$ 3. Найдём абсциссу точки касания: $$ 2x_0 - 3 = 0 $$ $$ 2x_0 = 3 \implies x_0 = 1{,}5 $$ 4. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 1{,}5$: $$ f(1{,}5) = (1{,}5 - 1)(1{,}5 - 2) = 0{,}5 \cdot (-0{,}5) = -0{,}25 $$ 5. Составим уравнение касательной: $$ y = -0{,}25 $$ **Ответ:** $y = -0{,}25$. --- ### 3) $f(x) = x^4 + 32x - 3$ 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^4 + 32x - 3)' = 4x^3 + 32 $$ 2. Найдём абсциссу точки касания: $$ 4x_0^3 + 32 = 0 $$ $$ 4x_0^3 = -32 $$ $$ x_0^3 = -8 \implies x_0 = -2 $$ 3. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -2$: $$ f(-2) = (-2)^4 + 32 \cdot (-2) - 3 = 16 - 64 - 3 = -51 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = -51 $$ **Ответ:** $y = -51$. --- ### 4) $f(x) = x^6 + 6x - 2$ 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^6 + 6x - 2)' = 6x^5 + 6 $$ 2. Найдём абсциссу точки касания: $$ 6x_0^5 + 6 = 0 $$ $$ 6x_0^5 = -6 $$ $$ x_0^5 = -1 \implies x_0 = -1 $$ 3. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -1$: $$ f(-1) = (-1)^6 + 6 \cdot (-1) - 2 = 1 - 6 - 2 = -7 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = -7 $$ **Ответ:** $y = -7$.