ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 215

1) $f(x) = x^2 - 6x - 8\ln x$ Область определения функции: $x > 0$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2)' - (6x)' - 8(\ln x)' = 2x - 6 - \frac{8}{x}$. Приравняем производную к нулю: $$ 2x - 6 - \frac{8}{x} = 0 $$ Так как $x > 0$, умножим обе части уравнения на $x$: $$ 2x^2 - 6x - 8 = 0 $$ Разделим обе части на 2: $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$. Проверим принадлежность корней области определения функции ($x > 0$): * $x = 4 > 0$ — удовлетворяет условию; * $x = -1 < 0$ — не входит в область определения. Ответ: $x = 4$. --- 2) $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x + 2)$ Область определения функции: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \iff x \ge 0 $$ Производная определена при $x > 0$: $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \cdot \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x + 2}$. Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x + 2} = 0 $$ $$ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{x + 2} $$ По свойству пропорции при $x > 0$: $$ x + 2 = 3\sqrt{x} $$ Сделаем замену переменной $t = \sqrt{x}$, где $t > 0$: $$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Вернемся к переменной $x$: * $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$; * $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$. Оба значения входят в область определения ($x > 0$). Ответ: $x = 1$; $x = 4$. --- 3) $f(x) = \sqrt{x + 1} - \ln(x - 2)$ Область определения функции: $$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -1 \\ x > 2 \end{cases} \iff x > 2 $$ Найдем производную функции: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x - 2}$. Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{x - 2} = 0 $$ $$ x - 2 = 2\sqrt{x + 1} $$ Так как $x > 2$, обе части уравнения строго положительны. Возведем обе части в квадрат: $$ (x - 2)^2 = (2\sqrt{x + 1})^2 $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 4(x + 1) $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 4x + 4 $$ $$ x^2 - 8x = 0 $$ $$ x(x - 8) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$. С учетом области определения ($x > 2$): * $x = 0$ не входит в область определения ($0 < 2$); * $x = 8 > 2$ — корень уравнения. Ответ: $x = 8$. --- 4) $f(x) = \ln(x - 1) + 2\ln(x + 2)$ Область определения функции: $$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x > -2 \end{cases} \iff x > 1 $$ Найдем производную функции: $f'(x) = \frac{1}{x - 1} + 2 \cdot \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}$. Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 2} = 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(x + 2) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = 0 $$ $$ \frac{x + 2 + 2x - 2}{(x - 1)(x + 2)} = 0 $$ $$ \frac{3x}{(x - 1)(x + 2)} = 0 $$ Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $$ 3x = 0 \implies x = 0 $$ Значение $x = 0$ не входит в область определения функции ($x > 1$). При всех $x > 1$ слагаемые $\frac{1}{x - 1} > 0$ и $\frac{2}{x + 2} > 0$, поэтому $f'(x) > 0$. Значит, производная не обращается в ноль. Ответ: таких значений $x$ нет.