ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 212

**212.** Найти производную функции: 1) Пусть дана функция: $$ y = \sqrt{x^2 + 1} \cdot \text{ctg } 4x $$ Для нахождения производной воспользуемся формулой производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции: $$ u = \sqrt{x^2 + 1} \implies u' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $$ $$ v = \text{ctg } 4x \implies v' = -\frac{1}{\sin^2 4x} \cdot (4x)' = -\frac{4}{\sin^2 4x} $$ Подставим найденные производные: $$ y' = \left(\sqrt{x^2 + 1}\right)' \cdot \text{ctg } 4x + \sqrt{x^2 + 1} \cdot (\text{ctg } 4x)' $$ $$ y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \text{ctg } 4x - \frac{4\sqrt{x^2 + 1}}{\sin^2 4x} $$ Ответ: $$ y' = \frac{x \text{ctg } 4x}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{4\sqrt{x^2 + 1}}{\sin^2 4x} $$ --- 2) Пусть дана функция: $$ y = e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x $$ Применим правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ u = e^{\frac{x}{2}} \implies u' = e^{\frac{x}{2}} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} $$ $$ v = \sin^3 3x \implies v' = 3\sin^2 3x \cdot (\sin 3x)' = 3\sin^2 3x \cdot (\cos 3x \cdot (3x)') = 9\sin^2 3x \cos 3x $$ Найдём производную функции: $$ y' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x + e^{\frac{x}{2}} \cdot 9\sin^2 3x \cos 3x $$ Вынесем общий множитель $e^{\frac{x}{2}} \sin^2 3x$ за скобки: $$ y' = e^{\frac{x}{2}} \sin^2 3x \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right) $$ Ответ: $$ y' = e^{\frac{x}{2}} \sin^2 3x \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right) $$ --- 3) Пусть дана функция: $$ y = \sqrt{x} \cdot \sin 4x $$ Применим формулу $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ u = \sqrt{x} \implies u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ v = \sin 4x \implies v' = \cos 4x \cdot (4x)' = 4\cos 4x $$ Тогда: $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin 4x + \sqrt{x} \cdot 4\cos 4x = \frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\cos 4x $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ y' = \frac{\sin 4x + 8x\cos 4x}{2\sqrt{x}} $$ Ответ: $$ y' = \frac{\sin 4x + 8x\cos 4x}{2\sqrt{x}} $$ --- 4) Пусть дана функция: $$ y = e^{3-2x} \cdot \cos (3-2x) $$ Применим формулу $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ u = e^{3-2x} \implies u' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = -2e^{3-2x} $$ $$ v = \cos (3-2x) \implies v' = -\sin(3-2x) \cdot (3-2x)' = -\sin(3-2x) \cdot (-2) = 2\sin(3-2x) $$ Тогда: $$ y' = -2e^{3-2x} \cos (3-2x) + e^{3-2x} \cdot 2\sin (3-2x) $$ Вынесем общий множитель $2e^{3-2x}$ за скобки: $$ y' = 2e^{3-2x} (\sin(3-2x) - \cos(3-2x)) $$ Ответ: $$ y' = 2e^{3-2x} (\sin(3-2x) - \cos(3-2x)) $$