ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 213

### № 213 Для нахождения производных применим правило дифференцирования частного: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ --- **1)** Найдем производную функции $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$. Пусть $u = 1 + \cos x$, тогда $u' = (1 + \cos x)' = -\sin x$. Пусть $v = \sin x$, тогда $v' = (\sin x)' = \cos x$. Применяем правило дифференцирования частного: $$ y' = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - (1 + \cos x) \cdot \cos x}{\sin^2 x} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ y' = \frac{-\sin^2 x - \cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) - \cos x}{\sin^2 x} $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $$ y' = \frac{-1 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1 + \cos x}{\sin^2 x} $$ Дробь можно упростить, заменив $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$: $$ y' = -\frac{1 + \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} = -\frac{1}{1 - \cos x} $$ **Ответ:** $-\frac{1 + \cos x}{\sin^2 x}$ (или $-\frac{1}{1 - \cos x}$). --- **2)** Найдем производную функции $y = \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1}$. Найдем производные числителя и знаменателя: * $u = \sqrt{3x}$, тогда по правилу производной сложной функции: $$ u' = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot (3x)' = \frac{3}{2\sqrt{3x}} $$ * $v = 3^x + 1$, тогда: $$ v' = (3^x + 1)' = 3^x \ln 3 $$ Применяем формулу производной частного: $$ y' = \frac{\frac{3}{2\sqrt{3x}} \cdot (3^x + 1) - \sqrt{3x} \cdot 3^x \ln 3}{(3^x + 1)^2} $$ Приведем числитель к общему знаменателю $2\sqrt{3x}$: $$ y' = \frac{\frac{3(3^x + 1) - 2\sqrt{3x} \cdot \sqrt{3x} \cdot 3^x \ln 3}{2\sqrt{3x}}}{(3^x + 1)^2} = \frac{3(3^x + 1) - 6x \cdot 3^x \ln 3}{2\sqrt{3x}(3^x + 1)^2} $$ Вынесем за скобки множитель $3$ в числителе: $$ y' = \frac{3(3^x + 1 - 2x \cdot 3^x \ln 3)}{2\sqrt{3x}(3^x + 1)^2} $$ **Ответ:** $\frac{3(3^x + 1 - 2x \cdot 3^x \ln 3)}{2\sqrt{3x}(3^x + 1)^2}$. --- **3)** Найдем производную функции $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4x + 1}$. Найдем производные числителя и знаменателя: * $u = x^2 - 2x + 3 \implies u' = 2x - 2$; * $v = x^2 + 4x + 1 \implies v' = 2x + 4$. Применяем формулу производной частного: $$ y' = \frac{(2x - 2)(x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 2x + 3)(2x + 4)}{(x^2 + 4x + 1)^2} $$ Раскрываем скобки в числителе: $$ (2x - 2)(x^2 + 4x + 1) = 2x^3 + 8x^2 + 2x - 2x^2 - 8x - 2 = 2x^3 + 6x^2 - 6x - 2 $$ $$ (x^2 - 2x + 3)(2x + 4) = 2x^3 + 4x^2 - 4x^2 - 8x + 6x + 12 = 2x^3 - 2x + 12 $$ Выполняем вычитание: $$ y' = \frac{(2x^3 + 6x^2 - 6x - 2) - (2x^3 - 2x + 12)}{(x^2 + 4x + 1)^2} = \frac{6x^2 - 4x - 14}{(x^2 + 4x + 1)^2} $$ Вынесем общий множитель $2$ в числителе: $$ y' = \frac{2(3x^2 - 2x - 7)}{(x^2 + 4x + 1)^2} $$ **Ответ:** $\frac{2(3x^2 - 2x - 7)}{(x^2 + 4x + 1)^2}$. --- **4)** Найдем производную функции $y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$. Найдем производные числителя и знаменателя: * $u = x^2 - x + 1 \implies u' = 2x - 1$; * $v = x^2 + x + 1 \implies v' = 2x + 1$. Применяем формулу производной частного: $$ y' = \frac{(2x - 1)(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} $$ Раскрываем скобки в числителе: $$ (2x - 1)(x^2 + x + 1) = 2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1 = 2x^3 + x^2 + x - 1 $$ $$ (x^2 - x + 1)(2x + 1) = 2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1 = 2x^3 - x^2 + x + 1 $$ Выполняем вычитание: $$ y' = \frac{(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + x + 1)^2} $$ Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $$ y' = \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2} $$ **Ответ:** $\frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$.