ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 217

1) Найдем производную функции $f(x) = 5(\sin x - \cos x) + \sqrt{2}\cos 5x$: $$ f'(x) = 5(\cos x - (-\sin x)) + \sqrt{2}(-\sin 5x) \cdot (5x)' $$ $$ f'(x) = 5(\cos x + \sin x) - 5\sqrt{2}\sin 5x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 5(\cos x + \sin x) - 5\sqrt{2}\sin 5x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 5: $$ \cos x + \sin x - \sqrt{2}\sin 5x = 0 $$ Преобразуем выражение $\cos x + \sin x$, используя метод вспомогательного угла: $$ \cos x + \sin x = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}\sin 5x = 0 $$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin 5x = 0 $$ Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ 2\sin\left(\frac{x + \frac{\pi}{4} - 5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x + \frac{\pi}{4} + 5x}{2}\right) = 0 $$ $$ 2\sin\left(\frac{\pi}{8} - 2x\right)\cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) = 0 $$ Так как функция синус нечетная, запишем: $$ -2\sin\left(2x - \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $\sin\left(2x - \frac{\pi}{8}\right) = 0$ $$ 2x - \frac{\pi}{8} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{\pi}{8} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. $\cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) = 0$ $$ 3x + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x = \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 2) Найдем производную функции $f(x) = 1 - \cos 2x + \sin x - \cos x - x$: $$ f'(x) = (1)' - (\cos 2x)' + (\sin x)' - (\cos x)' - (x)' $$ $$ f'(x) = 0 - (-\sin 2x \cdot 2) + \cos x - (-\sin x) - 1 $$ $$ f'(x) = 2\sin 2x + \sin x + \cos x - 1 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2\sin 2x + \sin x + \cos x - 1 = 0 $$ Введем новую переменную $t = \sin x + \cos x$. Возведем обе части равенства в квадрат: $$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x $$ Отсюда: $$ \sin 2x = t^2 - 1 $$ Подставим выражения в уравнение: $$ 2(t^2 - 1) + t - 1 = 0 $$ $$ 2t^2 + t - 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} $$ Вернемся к исходной переменной: 1. $\sin x + \cos x = -\frac{3}{2}$ Преобразуем левую часть: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Так как $|\sin\alpha| \le 1$, то: $$ -\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2} $$ Поскольку $-\frac{3}{2} = -1{,}5 < -\sqrt{2} \approx -1{,}41$, уравнение корней не имеет. 2. $\sin x + \cos x = 1$ $$ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 $$ $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Получаем два случая: $$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.