ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 209

1) $f(x) = x - \cos x$ Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 1 + \sin x = 0 $$ $$ \sin x = -1 $$ $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- 2) $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x$ Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{2}x\right)' - (\sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{2} - \cos x = 0 $$ $$ \cos x = \frac{1}{2} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- 3) $f(x) = \ln(x + 1) - 2x$ Область определения логарифмической функции: $x + 1 > 0 \implies x > -1$. Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{1}{x + 1} \cdot (x + 1)' - 2 = \frac{1}{x + 1} - 2 $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{x + 1} - 2 = 0 $$ $$ \frac{1}{x + 1} = 2 $$ $$ x + 1 = \frac{1}{2} $$ $$ x = -\frac{1}{2} $$ Проверим условие $x > -1$: число $-\frac{1}{2}$ входит в область определения. Ответ: $x = -\frac{1}{2}$. --- 4) $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$ Область определения: $x + 3 > 0 \implies x > -3$. Найдем производную: $$ f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x + 3} - 1 = \frac{2}{x + 3} - 1 $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{2}{x + 3} - 1 = 0 $$ $$ \frac{2}{x + 3} = 1 $$ $$ x + 3 = 2 $$ $$ x = -1 $$ Проверим условие $x > -3$: значение $x = -1$ принадлежит области определения. Ответ: $x = -1$. --- 5) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную по правилу дифференцирования показательной и сложной функций: $$ f'(x) = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = \ln 2 \cdot (2^x - 2^{-x}) $$ Приравняем производную к нулю: $$ \ln 2 \cdot (2^x - 2^{-x}) = 0 $$ Так как $\ln 2 \neq 0$: $$ 2^x - 2^{-x} = 0 $$ $$ 2^x = 2^{-x} $$ $$ x = -x $$ $$ 2x = 0 \implies x = 0 $$ Ответ: $x = 0$. --- 6) $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3$ Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную: $$ f'(x) = 3^{2x} \ln 3 \cdot (2x)' - 2\ln 3 = 2\ln 3 \cdot 3^{2x} - 2\ln 3 = 2\ln 3 \cdot (3^{2x} - 1) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 2\ln 3 \cdot (3^{2x} - 1) = 0 $$ Поскольку $2\ln 3 \neq 0$: $$ 3^{2x} - 1 = 0 $$ $$ 3^{2x} = 1 $$ $$ 3^{2x} = 3^0 $$ $$ 2x = 0 \implies x = 0 $$ Ответ: $x = 0$. --- 7) $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$ Область определения: $x + 3 > 0 \implies x > -3$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \frac{2}{x + 3} - 1 $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{2}{x + 3} - 1 = 0 \implies \frac{2}{x + 3} = 1 \implies x + 3 = 2 \implies x = -1 $$ Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x > -3$. Ответ: $x = -1$. --- 8) $f(x) = x + \ln(2x + 1)$ Область определения логарифмической функции: $$ 2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = 1 + \frac{1}{2x + 1} \cdot (2x + 1)' = 1 + \frac{2}{2x + 1} $$ Приравняем производную к нулю: $$ 1 + \frac{2}{2x + 1} = 0 $$ $$ \frac{2}{2x + 1} = -1 $$ $$ 2x + 1 = -2 $$ $$ 2x = -3 \implies x = -1{,}5 $$ Проверим область определения: $x = -1{,}5$ не удовлетворяет условию $x > -0{,}5$ (так как выражение под логарифмом $2(-1{,}5) + 1 = -2 < 0$ не определено). Следовательно, на всей области определения функции производная положительна: $$ f'(x) = 1 + \frac{2}{2x + 1} > 0 $$ и в ноль не обращается. Ответ: таких значений $x$ нет (нет решений).