ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 180

Для нахождения производных функций используем правило дифференцирования степенной функции $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$, а также основные правила: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$ и $(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$. ### 1) $\sqrt[3]{x}$ Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $$ f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ **Ответ:** $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ --- ### 2) $\sqrt[5]{x}$ Запишем функцию в виде степени: $$ f(x) = \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{1}{5}}\right)' = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} $$ **Ответ:** $\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$ --- ### 3) $2\sqrt[6]{x} - \sqrt[3]{x}$ Запишем слагаемые в виде степеней: $$ f(x) = 2x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(2x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}}\right)' = 2 \cdot \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[6]{x^5}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$ **Ответ:** $\frac{1}{3\sqrt[6]{x^5}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ --- ### 4) $3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x}$ Перейдем к степенной записи: $$ f(x) = 3x^{\frac{1}{6}} + 7x^{\frac{1}{14}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(3x^{\frac{1}{6}} + 7x^{\frac{1}{14}}\right)' = 3 \cdot \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} + 7 \cdot \frac{1}{14} x^{\frac{1}{14} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{2} x^{-\frac{13}{14}} = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}} $$ **Ответ:** $\frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$ --- ### 5) $\frac{2}{5\sqrt{x}}$ Запишем выражение в виде степени с отрицательным показателем: $$ f(x) = \frac{2}{5} \cdot x^{-\frac{1}{2}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(\frac{2}{5} x^{-\frac{1}{2}}\right)' = \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{5} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{5\sqrt{x^3}} = -\frac{1}{5x\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $-\frac{1}{5x\sqrt{x}}$ --- ### 6) $\frac{1}{x\sqrt{x}}$ Преобразуем знаменатель: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$. Тогда функция принимает вид: $$ f(x) = x^{-\frac{3}{2}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = \left(x^{-\frac{3}{2}}\right)' = -\frac{3}{2} x^{-\frac{3}{2} - 1} = -\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$ --- ### 7) $\frac{x^3 + 1}{x}$ Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель: $$ f(x) = \frac{x^3}{x} + \frac{1}{x} = x^2 + x^{-1} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = (x^2)' + (x^{-1})' = 2x + (-1) \cdot x^{-2} = 2x - \frac{1}{x^2} $$ **Ответ:** $2x - \frac{1}{x^2}$ --- ### 8) $\frac{x^4 - \sqrt{x}}{x}$ Разделим почленно числитель на знаменатель: $$ f(x) = \frac{x^4}{x} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x^3 - x^{\frac{1}{2} - 1} = x^3 - x^{-\frac{1}{2}} $$ Найдем производную: $$ f'(x) = (x^3)' - \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)' = 3x^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2} - 1} = 3x^2 + \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = 3x^2 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $3x^2 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$