ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 182

1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2)' = 12x^3 - 12x^2 - 24x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 12x^3 - 12x^2 - 24x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $12$ и вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^2 - x - 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x^2 - x - 2 = 0$. Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 2 $$ Ответ: $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$. --- 2) $f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5$ Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 5)' = 4x^3 + 12x^2 - 16x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 4x^3 + 12x^2 - 16x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $4$ и вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^2 + 3x - 4) = 0 $$ Отсюда: $x = 0$ или $x^2 + 3x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -4, \quad x_2 = 1 $$ Ответ: $x = -4$, $x = 0$, $x = 1$. --- 3) $f(x) = (x^2 + 3)(2x^2 + 5)$ Упростим выражение, раскрыв скобки: $$ f(x) = 2x^4 + 5x^2 + 6x^2 + 15 = 2x^4 + 11x^2 + 15 $$ Найдём производную: $$ f'(x) = (2x^4 + 11x^2 + 15)' = 8x^3 + 22x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 8x^3 + 22x = 0 $$ Вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $$ 2x(4x^2 + 11) = 0 $$ Отсюда: $2x = 0 \implies x = 0$ или $4x^2 + 11 = 0 \implies 4x^2 = -11$, что не имеет действительных корней, так как $4x^2 \ge 0$ при всех действительных $x$. Ответ: $x = 0$. --- 4) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ Область определения функции: $x \ne 0$. Найдём производную функции: $$ f'(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 $$ Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x^2 \ne 0 \end{cases} \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ Ответ: $x = -1$, $x = 1$. --- 5) $f(x) = (x-1)^2 x \sqrt{x}$ Область определения функции: $x \ge 0$. Запишем функцию в виде степеней, используя равенство $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$: $$ f(x) = (x^2 - 2x + 1)x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{7}{2}} - 2x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{3}{2}} $$ Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2}x^2\sqrt{x} - 5x\sqrt{x} + \frac{3}{2}\sqrt{x} $$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sqrt{x}$ за скобки: $$ f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}(7x^2 - 10x + 3) $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{2}\sqrt{x}(7x^2 - 10x + 3) = 0 $$ Уравнение распадается на два случая: 1) $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$ 2) $7x^2 - 10x + 3 = 0$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 100 - 84 = 16 $$ $$ x_1 = \frac{10 - 4}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}, \quad x_2 = \frac{10 + 4}{14} = 1 $$ Все найденные значения входят в область определения ($x \ge 0$). Ответ: $x = 0$, $x = \frac{3}{7}$, $x = 1$. --- 6) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x$ Найдём производную: $$ f'(x) = (3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x)' = 12x^3 - 12x^2 + 12x - 12 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 12x^3 - 12x^2 + 12x - 12 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $12$: $$ x^3 - x^2 + x - 1 = 0 $$ Разложим многочлен на множители способом группировки: $$ x^2(x - 1) + (x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x^2 + 1) = 0 $$ Отсюда: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ или $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ — действительных корней нет. Ответ: $x = 1$.