ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 139

**1)** Найдем предел последовательности: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( 3\sqrt{\frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 - n + 2}} \right) $$ Разделим числитель и знаменатель подкоренного выражения на старшую степень $n^2$: $$ \frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 - n + 2} = \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2}}{4 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} $$ Так как при $n \to \infty$ величины $\frac{1}{n} \to 0$ и $\frac{1}{n^2} \to 0$, используя теоремы о пределе дроби и непрерывности корня, получаем: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = 3\sqrt{\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2}}{4 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}} = 3\sqrt{\frac{1 + 0 + 0}{4 - 0 + 0}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$ Ответ: $\frac{3}{2}$ (или $1{,}5$). --- **2)** Найдем предел последовательности: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8n^3 + 2n^2 + 1}}{n} $$ Поскольку $n > 0$, внесем $n$ в знаменателе под знак кубического корня ($n = \sqrt[3]{n^3}$): $$ x_n = \sqrt[3]{\frac{8n^3 + 2n^2 + 1}{n^3}} = \sqrt[3]{8 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}} $$ Переходя к пределу при $n \to \infty$ (учитывая, что $\frac{2}{n} \to 0$ и $\frac{1}{n^3} \to 0$): $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \left(8 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}\right)} = \sqrt[3]{8 + 0 + 0} = \sqrt[3]{8} = 2 $$ Ответ: $2$. --- **3)** Найдем предел последовательности: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{3n^2 + 4n + 1} - \sqrt{3n^2 - 2n + 5} \right) $$ Имеем неопределенность вида $[\infty - \infty]$. Умножим и разделим выражение на сопряженную сумму корней: $$ x_n = \frac{\left(\sqrt{3n^2 + 4n + 1} - \sqrt{3n^2 - 2n + 5}\right)\left(\sqrt{3n^2 + 4n + 1} + \sqrt{3n^2 - 2n + 5}\right)}{\sqrt{3n^2 + 4n + 1} + \sqrt{3n^2 - 2n + 5}} $$ Применяя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ x_n = \frac{(3n^2 + 4n + 1) - (3n^2 - 2n + 5)}{\sqrt{3n^2 + 4n + 1} + \sqrt{3n^2 - 2n + 5}} = \frac{6n - 4}{\sqrt{3n^2 + 4n + 1} + \sqrt{3n^2 - 2n + 5}} $$ Вынесем $n$ за скобки в числителе и знаменателе: $$ x_n = \frac{n\left(6 - \frac{4}{n}\right)}{n\left(\sqrt{3 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}\right)} = \frac{6 - \frac{4}{n}}{\sqrt{3 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}} $$ Вычислим предел при $n \to \infty$: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{6 - 0}{\sqrt{3 + 0 + 0} + \sqrt{3 - 0 + 0}} = \frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$ Ответ: $\sqrt{3}$. --- **4)** Найдем предел последовательности: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 2n} - n \right) $$ Имеем неопределенность вида $[\infty - \infty]$. Воспользуемся формулой разности кубов: $$ a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $$ где $a = \sqrt[3]{n^3 + 2n}$, $b = n$. Получаем: $$ x_n = \frac{(n^3 + 2n) - n^3}{\left(\sqrt[3]{n^3 + 2n}\right)^2 + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2} = \frac{2n}{\left(\sqrt[3]{n^3 + 2n}\right)^2 + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2} $$ Вынесем $n^2$ из знаменателя, учитывая, что $\sqrt[3]{n^3 + 2n} = n\sqrt[3]{1 + \frac{2}{n^2}}$: $$ x_n = \frac{2n}{n^2\left(\left(\sqrt[3]{1 + \frac{2}{n^2}}\right)^2 + \sqrt[3]{1 + \frac{2}{n^2}} + 1\right)} = \frac{2}{n\left(\left(\sqrt[3]{1 + \frac{2}{n^2}}\right)^2 + \sqrt[3]{1 + \frac{2}{n^2}} + 1\right)} $$ При $n \to \infty$ выражение в скобках стремится к $1^2 + 1 + 1 = 3$, а знаменатель стремится к бесконечности: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n \cdot 3} = 0 $$ Ответ: $0$.