ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 138

1) Разделим числитель и знаменатель дроби на $n$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{5n + 2}{3n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{n}}{3 + \frac{4}{n}} $$ Так как $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$, получаем: $$ \frac{5 + 0}{3 + 0} = \frac{5}{3} $$ Ответ: $\frac{5}{3}$. --- 2) Разделим числитель и знаменатель дроби на $n^2$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n + 2}{3n^2 + 7} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{3 + \frac{7}{n^2}} $$ Так как слагаемые $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n^2}$ и $\frac{7}{n^2}$ стремятся к $0$ при $n \to \infty$: $$ \frac{1 - 0 + 0}{3 + 0} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\frac{1}{3}$. --- 3) Преобразуем общий член суммы. Заметим, что: $$ \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right) $$ Запишем последовательность $x_n$ в виде суммы: $$ x_n = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right) \right) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $$ x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) $$ Вычислим предел: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{6} $$ Ответ: $\frac{1}{6}$. --- 4) Числитель представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$ 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$ Подставим эту формулу в выражение для $x_n$: $$ x_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n^2 + n}{2n^2} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) $$ Вычислим предел при $n \to \infty$: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{2} (1 + 0) = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$. --- 5) Воспользуемся свойством предела корня: $\lim_{n \to \infty} \sqrt{y_n} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} y_n}$. Сначала найдем предел подкоренного выражения, разделив числитель и знаменатель на $n$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2} $$ Тогда предел исходной последовательности равен: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$ Ответ: $\sqrt{\frac{3}{2}}$ (или $\frac{\sqrt{6}}{2}$). --- 6) В учебнике в данном задании слагаемое $-n$ вынесено за пределы корня: $x_n = \sqrt{n^2 - n + 2} - n$. При $n \to \infty$ здесь возникает неопределенность вида $(\infty - \infty)$. Умножим и разделим выражение на сопряженное $\left( \sqrt{n^2 - n + 2} + n \right)$: $$ x_n = \frac{\left( \sqrt{n^2 - n + 2} - n \right) \left( \sqrt{n^2 - n + 2} + n \right)}{\sqrt{n^2 - n + 2} + n} = \frac{(n^2 - n + 2) - n^2}{\sqrt{n^2 - n + 2} + n} = \frac{-n + 2}{\sqrt{n^2 - n + 2} + n} $$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $n$ (внося $n$ под корень как $n^2$): $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-1 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} + 1} = \frac{-1 + 0}{\sqrt{1 - 0 + 0} + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2} $$ *(Если же строго следовать буквальной записи условия с $-n$ под корнем: $x_n = \sqrt{n^2 - 2n + 2} = \sqrt{(n-1)^2 + 1} \to \infty$, то есть конечного предела не существует).* Ответ: $-\frac{1}{2}$.