ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 142

**1)** Дана функция: $$ f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x < 0, \\ x + 2 & \text{при } x > 0 \end{cases} $$ в точке $a = 0$. При $x < 0$ функция задаётся формулой $f(x) = 1 - x^2$. Найдём предел слева: $$ \lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} (1 - x^2) = 1 - 0^2 = 1 $$ При $x > 0$ функция задаётся формулой $f(x) = x + 2$. Найдём предел справа: $$ \lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} (x + 2) = 0 + 2 = 2 $$ **Ответ:** предел слева равен $1$, предел справа равен $2$. --- **2)** Дана функция: $$ f(x) = \frac{3x - |x|}{2x} $$ в точке $a = 0$. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Преобразуем выражение: $$ f(x) = \frac{3x - (-x)}{2x} = \frac{4x}{2x} = 2 $$ Найдём предел слева: $$ \lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} 2 = 2 $$ Если $x > 0$, то $|x| = x$. Преобразуем выражение: $$ f(x) = \frac{3x - x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1 $$ Найдём предел справа: $$ \lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} 1 = 1 $$ **Ответ:** предел слева равен $2$, предел справа равен $1$. --- **3)** Дана функция: $$ f(x) = \begin{cases} |x| - 1 & \text{при } x < -1, \\ \sqrt{x+2} & \text{при } x > -1 \end{cases} $$ в точке $a = -1$. При $x < -1$ функция имеет вид $f(x) = |x| - 1$. Найдём предел слева: $$ \lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1-0} (|x| - 1) = |-1| - 1 = 1 - 1 = 0 $$ При $x > -1$ функция имеет вид $f(x) = \sqrt{x+2}$. Найдём предел справа: $$ \lim_{x \to -1+0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} \sqrt{x+2} = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1 $$ **Ответ:** предел слева равен $0$, предел справа равен $1$. --- **4)** Дана функция: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2|x| & \text{при } x < -1, \\ x + 3 & \text{при } x > -1 \end{cases} $$ в точке $a = -1$. При $x < -1$ функция задана формулой $f(x) = x^2 - 2|x|$. Найдём предел слева: $$ \lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1-0} (x^2 - 2|x|) = (-1)^2 - 2|-1| = 1 - 2 \cdot 1 = -1 $$ При $x > -1$ функция задана формулой $f(x) = x + 3$. Найдём предел справа: $$ \lim_{x \to -1+0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} (x + 3) = -1 + 3 = 2 $$ **Ответ:** предел слева равен $-1$, предел справа равен $2$.