ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 137

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $m \le x_n \le M$ (или существует такое число $M > 0$, что $|x_n| \le M$ при всех $n \in \mathbb{N}$). **1)** Рассмотрим последовательность: $$ x_n = \sin \frac{n\sqrt{n}}{4} $$ По основному свойству тригонометрической функции синус для любого действительного аргумента $\alpha$ справедливо неравенство $-1 \le \sin \alpha \le 1$. Следовательно, для любого $n \in \mathbb{N}$: $$ -1 \le \sin \frac{n\sqrt{n}}{4} \le 1 $$ то есть: $$ |x_n| \le 1 $$ Так как все члены последовательности лежат в отрезке $[-1; 1]$, последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной (число $m = -1$ — нижняя граница, $M = 1$ — верхняя граница). Что и требовалось доказать. --- **2)** Рассмотрим последовательность: $$ x_n = \frac{n+2}{n^2+4} $$ Так как $n \in \mathbb{N}$ ($n \ge 1$), числитель $n + 2 > 0$ и знаменатель $n^2 + 4 > 0$. Значит, для любого $n \in \mathbb{N}$: $$ x_n > 0 $$ Таким образом, последовательность ограничена снизу числом $m = 0$. Оценим выражение сверху. Сравним числитель и знаменатель дроби: $$ (n^2 + 4) - (n + 2) = n^2 - n + 2 = \left(n - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} > 0 $$ Так как разность положительна при всех $n \in \mathbb{N}$, то $n^2 + 4 > n + 2$. Разделив обе части неравенства на положительное число $n^2 + 4$, получаем: $$ \frac{n+2}{n^2+4} < 1 $$ Следовательно, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется двойное неравенство: $$ 0 < x_n < 1 $$ Значит, последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной. Что и требовалось доказать. --- **3)** Рассмотрим последовательность: $$ x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} $$ Количество слагаемых в данной сумме равно $2n - (n + 1) + 1 = n$. Так как каждое слагаемое положительно при всех $n \in \mathbb{N}$, то: $$ x_n > 0 $$ Оценим сумму сверху. Каждое из $n$ слагаемых строго меньше дроби $\frac{1}{n}$, так как знаменатель каждого слагаемого больше $n$ ($n + 1 > n$, $n + 2 > n$, $\ldots$, $2n > n$). Заменим каждое слагаемое на $\frac{1}{n}$: $$ x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} < \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \ldots + \frac{1}{n}}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot \frac{1}{n} = 1 $$ Таким образом, для любого натурального $n$ справедливо неравенство: $$ 0 < x_n < 1 $$ Значит, последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной. Что и требовалось доказать.