ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 126

Для графического решения уравнений вида $f(x) = g(x)$ построим графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат и найдём абсциссы точек их пересечения. --- ### 1) $\cos x = |x|$ 1. Построим график функции $y = \cos x$: косинусоида с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1; 1]$. В точке $x = 0$ значение $y = 1$, а в точках $x = \pm \frac{\pi}{2} \approx \pm 1{,}57$ косинус равен $0$. 2. Построим график функции $y = |x|$: график имеет вершину в точке $(0; 0)$ и состоит из двух лучей: $$ y = \begin{cases} x, & \text{при } x \ge 0, \\ -x, & \text{при } x < 0. \end{cases} $$ 3. Анализ точек пересечения: * Так как $|x| > 1$ при $|x| > 1$, а $|\cos x| \le 1$, все точки пересечения лежат в интервале $(-1; 1)$. * Обе функции являются чётными ($\cos(-x) = \cos x$ и $|-x| = |x|$), следовательно, их графики симметричны относительно оси ординат $Oy$, а корни уравнения противоположны по знаку. * При $x \ge 0$ функция $y = \cos x$ убывает от $1$ до $0$ на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, а функция $y = x$ возрастает от $0$. Графики пересекаются в одной точке: $$ x_1 \approx 0{,}74 $$ * В силу симметрии относительно оси $Oy$, вторая точка пересечения имеет противоположную абсциссу: $$ x_2 \approx -0{,}74 $$ **Ответ:** $x \approx \pm 0{,}74$. --- ### 2) $\sin x = -|x + 1|$ 1. Построим график функции $y = \sin x$: синусоида с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1; 1]$. Проходит через точки $(0; 0)$, $(-1; \sin(-1) \approx -0{,}84)$, $\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)$, $(-\pi; 0)$. 2. Построим график функции $y = -|x + 1|$: график функции $y = |x|$, смещённый влево на $1$ единицу и отражённый относительно оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-1; 0)$, ветви направлены вниз: $$ y = \begin{cases} -(x + 1) = -x - 1, & \text{при } x \ge -1, \\ x + 1, & \text{при } x < -1. \end{cases} $$ 3. Анализ точек пересечения: * Так как $-|x + 1| \le 0$ при всех $x$, а при $|x + 1| > 1$ (то есть при $x < -2$ и $x > 0$) значения функции $-|x + 1| < -1 \le \sin x$, точки пересечения могут находиться только на отрезке $[-2; 0]$. * На отрезке $[-1; 0]$ правая часть задаётся прямой $y = -x - 1$: * при $x = -1$: $\sin(-1) \approx -0{,}84$, а $-x - 1 = 0$ (синусоида ниже прямой); * при $x = 0$: $\sin 0 = 0$, а $-x - 1 = -1$ (синусоида выше прямой). Следовательно, на отрезке $[-1; 0]$ графики пересекаются в одной точке: $$ x_1 \approx -0{,}5 $$ * На отрезке $[-2; -1]$ правая часть задаётся прямой $y = x + 1$: * при $x = -2$: $\sin(-2) \approx -0{,}91$, а $x + 1 = -1$ (синусоида выше прямой); * при $x = -1$: $\sin(-1) \approx -0{,}84$, а $x + 1 = 0$ (синусоида ниже прямой). Следовательно, на отрезке $[-2; -1]$ графики пересекаются в одной точке: $$ x_2 \approx -1{,}9 $$ **Ответ:** $x_1 \approx -1{,}9$; $x_2 \approx -0{,}5$.