ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 123

1) $y = \cos^4 x - \sin^4 x$ Применим формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество: $$ y = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) $$ Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, а $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$, получаем: $$ y = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x $$ Так как для любого $x$ верно неравенство $-1 \le \cos 2x \le 1$, то: * наибольшее значение функции равно $1$; * наименьшее значение функции равно $-1$. **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = 1$, $y_{\text{наим}} = -1$. --- 2) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ Применим формулу произведения синусов $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$: $$ y = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) - \cos\left(\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \right) $$ $$ y = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{2} - \cos 2x \right) $$ Так как $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, функция принимает вид: $$ y = \frac{1}{2} (0 - \cos 2x) = -\frac{1}{2} \cos 2x $$ Учитывая, что $-1 \le \cos 2x \le 1$: $$ -\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2} \cos 2x \le \frac{1}{2} $$ * наибольшее значение функции равно $\frac{1}{2}$; * наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{2}$. **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{2}$, $y_{\text{наим}} = -\frac{1}{2}$. --- 3) $y = 1 - 2|\sin 3x|$ Область значений функции $\sin 3x$ есть отрезок $[-1; 1]$, следовательно: $$ 0 \le |\sin 3x| \le 1 $$ Умножим все части неравенства на $-2$ (знаки неравенства меняются на противоположные): $$ -2 \le -2|\sin 3x| \le 0 $$ Прибавим $1$ ко всем частям неравенства: $$ 1 - 2 \le 1 - 2|\sin 3x| \le 1 + 0 $$ $$ -1 \le y \le 1 $$ * наибольшее значение функции равно $1$ (достигается при $\sin 3x = 0$); * наименьшее значение функции равно $-1$ (достигается при $|\sin 3x| = 1$). **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = 1$, $y_{\text{наим}} = -1$. --- 4) $y = \sin^2 x - 2\cos^2 x$ Выразим функцию через $\sin^2 x$, используя тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$ y = \sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x) = \sin^2 x - 2 + 2\sin^2 x = 3\sin^2 x - 2 $$ Так как $0 \le \sin^2 x \le 1$, последовательно оценим выражение: $$ 3 \cdot 0 \le 3\sin^2 x \le 3 \cdot 1 $$ $$ 0 \le 3\sin^2 x \le 3 $$ Вычтем $2$ из всех частей неравенства: $$ -2 \le 3\sin^2 x - 2 \le 1 $$ $$ -2 \le y \le 1 $$ * наибольшее значение функции равно $1$ (при $\sin^2 x = 1$); * наименьшее значение функции равно $-2$ (при $\sin^2 x = 0$). **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = 1$, $y_{\text{наим}} = -2$.