ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 14

Функция $y = f(x)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x$ из области её определения числа $(x - T)$ и $(x + T)$ также принадлежат этой области и выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Для всех заданных функций областью определения является множество всех действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$. Следовательно, если $x \in \mathbb{R}$, то и $(x + 2\pi) \in \mathbb{R}$, $(x - 2\pi) \in \mathbb{R}$. Для доказательства того, что число $2\pi$ является периодом каждой из функций, достаточно проверить справедливость равенства $f(x + 2\pi) = f(x)$, используя периодичность основных тригонометрических функций: $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ и $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. 1) $f(x) = \cos x - 1$ Подставим $(x + 2\pi)$ вместо $x$: $$ f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) - 1 $$ Так как $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, получаем: $$ f(x + 2\pi) = \cos x - 1 = f(x) $$ Равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$, что и требовалось доказать. 2) $f(x) = \sin x + 1$ Подставим $(x + 2\pi)$ вместо $x$: $$ f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + 1 $$ Так как $\sin(x + 2\pi) = \sin x$, получаем: $$ f(x + 2\pi) = \sin x + 1 = f(x) $$ Равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$, что и требовалось доказать. 3) $f(x) = 3\sin x$ Подставим $(x + 2\pi)$ вместо $x$: $$ f(x + 2\pi) = 3\sin(x + 2\pi) $$ Так как $\sin(x + 2\pi) = \sin x$, получаем: $$ f(x + 2\pi) = 3\sin x = f(x) $$ Равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$, что и требовалось доказать. 4) $f(x) = \frac{\cos x}{2}$ Подставим $(x + 2\pi)$ вместо $x$: $$ f(x + 2\pi) = \frac{\cos(x + 2\pi)}{2} $$ Так как $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, получаем: $$ f(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2} = f(x) $$ Равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$, что и требовалось доказать. 5) $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ Подставим $(x + 2\pi)$ вместо $x$: $$ f(x + 2\pi) = \sin\left(x + 2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi\right) $$ Так как период синуса равен $2\pi$, для любого аргумента $\alpha$ верно $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha$. При $\alpha = x - \frac{\pi}{4}$ получаем: $$ \sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi\right) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = f(x) $$ Равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$, что и требовалось доказать. 6) $f(x) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ Подставим $(x + 2\pi)$ вместо $x$: $$ f(x + 2\pi) = \cos\left(x + 2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\pi\right) $$ Так как период косинуса равен $2\pi$, для любого аргумента $\alpha$ верно $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha$. При $\alpha = x + \frac{2\pi}{3}$ получаем: $$ \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\pi\right) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = f(x) $$ Равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция является периодической с периодом $2\pi$, что и требовалось доказать.