ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1084

График квадратичной функции $y = x^2 + px + q$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как старший коэффициент равен $1 > 0$). Следовательно, своего наименьшего значения (минимума) функция достигает в точке экстремума — вершине параболы. **1 способ (с помощью производной):** Найдем производную функции: $$ y' = (x^2 + px + q)' = 2x + p $$ По необходимому условию экстремума в точке минимума $x = 5$ производная обращается в нуль: $$ y'(5) = 0 $$ $$ 2 \cdot 5 + p = 0 $$ $$ 10 + p = 0 \implies p = -10 $$ Так как $y' < 0$ при $x < 5$ и $y' > 0$ при $x > 5$, то $x = 5$ действительно является точкой минимума. По условию значение функции в точке минимума равно $1$, то есть $y(5) = 1$: $$ 5^2 + p \cdot 5 + q = 1 $$ Подставим найденное значение $p = -10$: $$ 25 + (-10) \cdot 5 + q = 1 $$ $$ 25 - 50 + q = 1 $$ $$ -25 + q = 1 \implies q = 26 $$ --- **2 способ (через координаты вершины параболы):** Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле: $$ x_0 = -\frac{p}{2} $$ Так как точка минимума $x_0 = 5$, получаем: $$ -\frac{p}{2} = 5 \implies p = -10 $$ Ордината вершины параболы равна значению функции при $x_0 = 5$, и по условию $y_0 = 1$: $$ y(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 + q = 1 $$ $$ -25 + q = 1 \implies q = 26 $$ Ответ: $p = -10$, $q = 26$.