ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1082

Точки $A(3; -1)$ и $D(4; -1)$ лежат на горизонтальной прямой $y = -1$. Длина отрезка $AD$, являющегося одним из оснований трапеции, равна: $$AD = 4 - 3 = 1$$ Так как основания трапеции параллельны, второе основание $BC$ также должно быть параллельно основанию $AD$, то есть лежать на некоторой горизонтальной прямой $y = y_0$. По условию вершины $B$ и $C$ лежат на дуге параболы $y = 1 - x^2$ при $x \in [-1; 1]$. Поскольку парабола симметрична относительно оси ординат, точки пересечения прямой $y = y_0$ ($0 \le y_0 < 1$) с параболой имеют координаты $(-x; 1 - x^2)$ и $(x; 1 - x^2)$, где $x \in (0; 1]$. Тогда длина второго основания равна: $$BC = x - (-x) = 2x$$ Высота трапеции $h$ равна расстоянию между параллельными прямыми $y = 1 - x^2$ и $y = -1$: $$h = (1 - x^2) - (-1) = 2 - x^2$$ Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$ Подставим найденные выражения через переменную $x$: $$S(x) = \frac{1 + 2x}{2} \cdot (2 - x^2) = \frac{1}{2}(2 - x^2 + 4x - 2x^3) = -x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$$ где $x \in (0; 1]$. Найдем наибольшее значение функции $S(x)$ на промежутке $(0; 1]$. Для этого найдем производную функции $S(x)$: $$S'(x) = -3x^2 - x + 2$$ Приравняем производную к нулю: $$-3x^2 - x + 2 = 0$$ $$3x^2 + x - 2 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1 \notin (0; 1]$$ Исследуем знаки производной на интервале $(0; 1)$: - при $x \in \left(0; \frac{2}{3}\right)$ имеем $S'(x) > 0$, функция возрастает; - при $x \in \left(\frac{2}{3}; 1\right)$ имеем $S'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $x = \frac{2}{3}$ является точкой максимума функции $S(x)$. Вычислим наибольшую площадь: $$S\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1 + 2 \cdot \frac{2}{3}}{2} \cdot \left(2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right) = \frac{7}{6} \cdot \left(2 - \frac{4}{9}\right) = \frac{7}{6} \cdot \frac{14}{9} = \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 9} = \frac{49}{27} = 1\frac{22}{27}$$ Ответ: $\frac{49}{27}$ (или $1\frac{22}{27}$).