ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1081

Пусть точка $M(x; y)$ лежит на параболе $y = x^2$. Тогда её координаты имеют вид $M(x; x^2)$. Расстояние $d$ от точки $M$ до точки $A\left(2; \frac{1}{2}\right)$ определяется по формуле расстояния между двумя точками: $$ d = \sqrt{(x - 2)^2 + \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2} $$ Расстояние $d$ будет наименьшим тогда, когда принимает наименьшее значение его квадрат. Рассмотрим функцию: $$ f(x) = (x - 2)^2 + \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ f(x) = x^2 - 4x + 4 + x^4 - x^2 + \frac{1}{4} = x^4 - 4x + \frac{17}{4} $$ Для нахождения наименьшего значения функции исследуем её с помощью производной: $$ f'(x) = (x^4 - 4x + 4,25)' = 4x^3 - 4 $$ Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 4x^3 - 4 = 0 $$ $$ 4(x^3 - 1) = 0 $$ $$ 4(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 $$ Так как квадратный трёхчлен $x^2 + x + 1$ не имеет действительных корней ($D = 1 - 4 = -3 < 0$) и принимает только положительные значения при всех $x \in \mathbb{R}$, единственным корнем уравнения является: $$ x = 1 $$ Определим знак производной на промежутках: — при $x < 1$ имеем $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает; — при $x > 1$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. Значит, $x = 1$ является точкой минимума функции $f(x)$, а так как она единственная, то в ней функция принимает наименьшее значение на всей числовой прямой. Найдем ординату искомой точки: $$ y = 1^2 = 1 $$ Таким образом, искомая точка имеет координаты $(1; 1)$. Ответ: $(1; 1)$.