ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1086

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра ($r > 0$), а $h$ — его высота ($h > 0$). Объём цилиндра выражается формулой: $$ V = \pi r^2 h $$ Отсюда выразим высоту $h$ через объём $V$ и радиус $r$: $$ h = \frac{V}{\pi r^2} $$ Площадь полной поверхности цилиндра равна: $$ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h $$ Подставим полученное выражение для $h$ в формулу площади поверхности: $$ S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} $$ Исследуем функцию $S(r)$ на наименьшее значение на промежутке $(0; +\infty)$ с помощью производной: $$ S'(r) = \left(2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\right)' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} $$ Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$ 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 $$ $$ \frac{4\pi r^3 - 2V}{r^2} = 0 $$ $$ 4\pi r^3 - 2V = 0 \implies r^3 = \frac{V}{2\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} $$ Определим знаки производной на интервале $(0; +\infty)$: - при $0 < r < \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ выполняется $S'(r) < 0$, функция $S(r)$ убывает; - при $r > \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ выполняется $S'(r) > 0$, функция $S(r)$ возрастает. Значит, в точке $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ функция $S(r)$ достигает своего наименьшего значения. Так как $V = 2\pi r^3$, упростим выражение для площади: $$ S_{\text{наим}} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} = 2\pi r^2 + \frac{2 \cdot 2\pi r^3}{r} = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2 $$ Подставим $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$: $$ S_{\text{наим}} = 6\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2 = 6\pi \cdot \frac{\sqrt[3]{V^2}}{\sqrt[3]{4\pi^2}} = \frac{6\pi \sqrt[3]{2\pi V^2}}{\sqrt[3]{8\pi^3}} = \frac{6\pi \sqrt[3]{2\pi V^2}}{2\pi} = 3\sqrt[3]{2\pi V^2} $$ Ответ: $3\sqrt[3]{2\pi V^2}$ (или $\sqrt[3]{54\pi V^2}$).