ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1045

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ 1) $f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}}$, $x_0 = \frac{1}{4}$ Запишем функцию в виде степени: $$ f(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{4}x^{-\frac{3}{2}} $$ Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{1}{4}$: $$ f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{1 \cdot \frac{1}{2}} = 6 $$ Найдем производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = \left(\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{2}}\right)' = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)x^{-\frac{3}{2} - 1} = -\frac{9}{8}x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{9}{8x^2\sqrt{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$: $$ f'\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{8} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{5}{2}} = -\frac{9}{8} \cdot \left(4^{\frac{1}{2}}\right)^5 = -\frac{9}{8} \cdot 2^5 = -\frac{9 \cdot 32}{8} = -36 $$ Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = 6 - 36\left(x - \frac{1}{4}\right) $$ $$ y = 6 - 36x + 9 $$ $$ y = -36x + 15 $$ Ответ: $y = -36x + 15$ --- 2) $f(x) = 2x^4 - x^2 + 4$, $x_0 = -1$ Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$: $$ f(-1) = 2 \cdot (-1)^4 - (-1)^2 + 4 = 2 \cdot 1 - 1 + 4 = 5 $$ Найдем производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = (2x^4 - x^2 + 4)' = 2 \cdot 4x^3 - 2x = 8x^3 - 2x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $$ f'(-1) = 8 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1) = -8 + 2 = -6 $$ Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = 5 - 6(x - (-1)) $$ $$ y = 5 - 6(x + 1) $$ $$ y = 5 - 6x - 6 $$ $$ y = -6x - 1 $$ Ответ: $y = -6x - 1$