ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1044

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке и равен тангенсу угла наклона касательной $\alpha$ к положительному направлению оси $Ox$: $$ \operatorname{tg}\alpha = f'(x_0), \quad \text{где } 0^\circ \le \alpha < 180^\circ $$ **1)** $f(x) = \frac{1}{4x^2} - \sqrt{x}$, $x_0 = 1$ Запишем функцию в виде степеней: $$ f(x) = \frac{1}{4}x^{-2} - x^{\frac{1}{2}} $$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-2)x^{-3} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2x^3} - \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1^3} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 $$ Найдем угол $\alpha$: $$ \operatorname{tg}\alpha = -1 \implies \alpha = 135^\circ \text{ (или } \frac{3\pi}{4}\text{)} $$ **Ответ к пункту 1:** $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$). --- **2)** $f(x) = 2x\sqrt{x}$, $x_0 = \frac{1}{3}$ Представим функцию в виде степени: $$ f(x) = 2x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} $$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$: $$ f'\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$ Найдем угол $\alpha$: $$ \operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ \text{ (или } \frac{\pi}{3}\text{)} $$ **Ответ к пункту 2:** $60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$).