ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень ответы на вопросы - §9

План исследования свойств функции: 1. **Область определения функции** Найти множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (обозначается $D(f)$ или $D(y)$). 2. **Чётность, нечётность и периодичность** - Проверить симметричность области определения относительно нуля. - Выяснить, является ли функция чётной ($f(-x) = f(x)$), нечётной ($f(-x) = -f(x)$) или функцией общего вида. - Проверить, является ли функция периодической, и найти её главный период (для тригонометрических функций). 3. **Точки пересечения графика с осями координат и нули функции** - Найти точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$): решить уравнение $f(x) = 0$ (найти нули функции). - Найти точку пересечения с осью ординат ($Oy$): вычислить значение функции при $x = 0$, то есть $f(0)$ (если $0 \in D(f)$). 4. **Промежутки знакопостоянства** Определить интервалы, на которых функция сохраняет постоянный знак: $$f(x) > 0 \quad \text{и} \quad f(x) < 0$$ 5. **Промежутки возрастания и убывания (монотонность)** - Найти производную функции $f'(x)$. - Найти критические точки (точки, в которых $f'(x) = 0$ или производная не существует). - Определить знаки производной на полученных интервалах: - если на промежутке $f'(x) > 0$, то функция возрастает; - если на промежутке $f'(x) < 0$, то функция убывает. 6. **Точки экстремума и экстремумы функции** - По знаку производной определить точки максимума ($x_{\max}$) и точки минимума ($x_{\min}$): - если в критической точке знак $f'(x)$ меняется с «$+$» на «$-$», то это точка максимума; - если с «$-$» на «$+$», то это точка минимума. - Вычислить значения функции в точках экстремума ($y_{\max} = f(x_{\max})$, $y_{\min} = f(x_{\min})$). 7. **Поведение функции на границах области определения** Исследовать поведение функции при приближении к границам области определения или при $x \to +\infty$, $x \to -\infty$ (найти асимптоты графика, если они есть). 8. **Область значений функции** На основе проведённого исследования определить множество значений, принимаемых функцией (обозначается $E(f)$ или $E(y)$).