ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 5 - 5.5

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$ В точке пересечения графика с осью абсцисс значение функции равно нулю: $f(x_0) = 0$. --- ### 1) $f(x) = 8x^3 - 1$ 1. Найдем абсциссу точки пересечения графика с осью $Ox$: $$ 8x^3 - 1 = 0 $$ $$ 8x^3 = 1 $$ $$ x^3 = \frac{1}{8} \implies x_0 = \frac{1}{2} $$ Точка касания: $\left(\frac{1}{2}; 0\right)$, то есть $f(x_0) = 0$. 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (8x^3 - 1)' = 24x^2 $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$: $$ f'\left(\frac{1}{2}\right) = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6 $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 6\left(x - \frac{1}{2}\right) + 0 $$ $$ y = 6x - 3 $$ **Ответ:** $y = 6x - 3$. --- ### 2) $f(x) = x - \frac{1}{x}$ Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 1. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$: $$ x - \frac{1}{x} = 0 $$ $$ \frac{x^2 - 1}{x} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 $$ $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 $$ График пересекает ось абсцисс в двух точках: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$. Следовательно, получим два уравнения касательных. 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(x - \frac{1}{x}\right)' = 1 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 1 + \frac{1}{x^2} $$ 3. Составим уравнение касательной в точке $x_0 = 1$: * $f(1) = 0$ * $f'(1) = 1 + \frac{1}{1^2} = 2$ * Уравнение касательной: $$ y = 2(x - 1) + 0 \implies y = 2x - 2 $$ 4. Составим уравнение касательной в точке $x_0 = -1$: * $f(-1) = 0$ * $f'(-1) = 1 + \frac{1}{(-1)^2} = 2$ * Уравнение касательной: $$ y = 2(x - (-1)) + 0 \implies y = 2(x + 1) \implies y = 2x + 2 $$ **Ответ:** $y = 2x - 2$ и $y = 2x + 2$.