ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 5 - 5.3

Точка пересечения графика функции с осью ординат имеет абсциссу $x_0 = 0$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ ### 1) $f(x) = x^2 - 3x - 3$ 1. Так как точка касания является точкой пересечения графика с осью ординат, её абсцисса равна $x_0 = 0$. 2. Найдём значение функции в точке $x_0$: $$ f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 3 = -3 $$ 3. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (x^2 - 3x - 3)' = 2x - 3 $$ 4. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3 $$ 5. Составим уравнение касательной: $$ y = -3 + (-3)(x - 0) $$ $$ y = -3x - 3 $$ **Ответ:** $y = -3x - 3$ --- ### 2) $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$ 1. Точка пересечения с осью ординат имеет абсциссу $x_0 = 0$. 2. Найдём значение функции в точке $x_0$: $$ f(0) = \cos\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ 3. Найдём производную сложной функции: $$ f'(x) = \left(\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) $$ 4. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(0) = -\frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} $$ 5. Составим уравнение касательной: $$ y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0) $$ $$ y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2} $$ **Ответ:** $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$