ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 5 - 5.8

Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$, где $x \neq 0$. 1. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} $$ 2. По геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k_{\text{кас}} = f'(x_0)$. Угловой коэффициент прямой $y = -x$ равен $k = -1$. Так как касательная параллельна данной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны: $$ f'(x_0) = -1 $$ 3. Составим и решим уравнение: $$ -\frac{1}{x_0^2} = -1 $$ $$ x_0^2 = 1 $$ $$ x_0 = 1 \quad \text{или} \quad x_0 = -1 $$ 4. Найдем соответствующие ординаты точек касания: - если $x_0 = 1$, то $y_0 = f(1) = \frac{1}{1} = 1$; - если $x_0 = -1$, то $y_0 = f(-1) = \frac{1}{-1} = -1$. Уравнения касательных в этих точках имеют вид: - при $x_0 = 1$: $y - 1 = -1(x - 1) \implies y = -x + 2$; - при $x_0 = -1$: $y - (-1) = -1(x - (-1)) \implies y = -x - 2$. Обе прямые действительно параллельны прямой $y = -x$ и не совпадают с ней. Таким образом, искомыми точками являются $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Ответ: $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.