ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень ответы на вопросы - §4

1) **Теорема о производной суммы:** Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ дифференцируемы в точке $x_0$, то их сумма $y = f(x) + g(x)$ также дифференцируема в этой точке, причём для любого $x_0$ выполняется равенство: $$ (f(x_0) + g(x_0))' = f'(x_0) + g'(x_0) $$ Или в краткой записи: производная суммы равна сумме производных: $$ (f + g)' = f' + g' $$ 2) **Теорема о производной произведения:** Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ дифференцируемы в точке $x_0$, то их произведение $y = f(x)g(x)$ также дифференцируемо в этой точке, причём: $$ (f(x_0)g(x_0))' = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) $$ Или в краткой записи: $$ (fg)' = f'g + fg' $$ 3) **Теорема о производной частного:** Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ дифференцируемы в точке $x_0$ и $g(x_0) \neq 0$, то функция $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ также дифференцируема в этой точке, причём: $$ \left(\frac{f(x_0)}{g(x_0)}\right)' = \frac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $$ Или в краткой записи: $$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$ 4) **Теорема о производной сложной функции:** Если функция $u = g(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, а функция $y = f(u)$ дифференцируема в точке $u_0 = g(x_0)$, то сложная функция $y = f(g(x))$ дифференцируема в точке $x_0$, причём: $$ (f(g(x_0)))' = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) $$ Словесно: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимой переменной.