ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.1

1) $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10$ Используем правила дифференцирования суммы и разности, вынесения постоянного множителя за знак производной, а также табличные производные $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(x)' = 1$, $(c)' = 0$: $$ y' = (x^3)' - 3(x^2)' + 6(x)' - (10)' $$ $$ y' = 3x^2 - 3 \cdot 2x + 6 \cdot 1 - 0 = 3x^2 - 6x + 6 $$ Ответ: $y' = 3x^2 - 6x + 6$. --- 2) $y = 4x^6 + 20\sqrt{x}$ Используем формулы $(x^n)' = n x^{n-1}$ и $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$: $$ y' = 4(x^6)' + 20(\sqrt{x})' $$ $$ y' = 4 \cdot 6x^5 + 20 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}} $$ Ответ: $y' = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$. --- 3) $y = x^8 + 7x^6 + \frac{4}{x} - 1$ Представим слагаемое $\frac{4}{x}$ в виде $4 \cdot \frac{1}{x}$. Учитывая, что $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$: $$ y' = (x^8)' + 7(x^6)' + 4\left(\frac{1}{x}\right)' - (1)' $$ $$ y' = 8x^7 + 7 \cdot 6x^5 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) - 0 = 8x^7 + 42x^5 - \frac{4}{x^2} $$ Ответ: $y' = 8x^7 + 42x^5 - \frac{4}{x^2}$. --- 4) $y = 4\sin x - 5\cos x$ Используем табличные производные тригонометрических функций $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$: $$ y' = 4(\sin x)' - 5(\cos x)' $$ $$ y' = 4\cos x - 5(-\sin x) = 4\cos x + 5\sin x $$ Ответ: $y' = 4\cos x + 5\sin x$. --- 5) $y = -\frac{1}{6}x^3 + 0,5x^2 + 2x$ Дифференцируем каждое слагаемое: $$ y' = -\frac{1}{6}(x^3)' + 0,5(x^2)' + 2(x)' $$ $$ y' = -\frac{1}{6} \cdot 3x^2 + 0,5 \cdot 2x + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{2}x^2 + x + 2 $$ Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^2 + x + 2$. --- 6) $y = \tan x - 9x$ Используем формулу $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$: $$ y' = (\tan x)' - 9(x)' $$ $$ y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9 $$ Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9$. --- 7) $y = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{8} + 2$ Перепишем функцию в виде $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{8}x^2 + 2$ и найдём производную: $$ y' = \frac{1}{4} \cdot (x^4)' - \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + \frac{1}{8} \cdot (x^2)' + (2)' $$ $$ y' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{8} \cdot 2x + 0 = x^3 - x^2 + \frac{x}{4} $$ Ответ: $y' = x^3 - x^2 + \frac{x}{4}$. --- 8) $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}$ Применим формулу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$ для отрицательных показателей: $$ y' = 2 \cdot (-2x^{-2-1}) + 3 \cdot (-3x^{-3-1}) $$ $$ y' = -4x^{-3} - 9x^{-4} $$ Запишем результат в виде дробей: $$ y' = -\frac{4}{x^3} - \frac{9}{x^4} $$ Ответ: $y' = -4x^{-3} - 9x^{-4} = -\frac{4}{x^3} - \frac{9}{x^4}$.