ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 3 - 3.28

Разложим знаменатели дробей на множители, используя формулы сокращённого умножения: $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ $$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$ Перепишем исходное уравнение в виде: $$ \frac{5}{(x - 2)^2} - \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x + 2} = 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq -2 \end{cases} $$ Наименьший общий знаменатель дробей равен $(x - 2)^2(x + 2)$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{5(x + 2) - 4(x - 2) - 1 \cdot (x - 2)^2}{(x - 2)^2(x + 2)} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ 5(x + 2) - 4(x - 2) - (x - 2)^2 = 0 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 5x + 10 - 4x + 8 - (x^2 - 4x + 4) = 0 $$ $$ x + 18 - x^2 + 4x - 4 = 0 $$ $$ -x^2 + 5x + 14 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ x^2 - 5x - 14 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 $$ $$ x_2 = \frac{5 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 $$ Проверим найденные значения по ОДЗ: - значение $x = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$ (является посторонним корнем); - значение $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $7$