ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 3 - 3.9

1) Преобразуем функцию $f(x) = x\sqrt[4]{x}$, представив её в виде степени с рациональным показателем: $$ f(x) = x^1 \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{1 + \frac{1}{4}} = x^{\frac{5}{4}} $$ Найдем производную функции по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{5}{4}}\right)' = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}} = \frac{5}{4} \sqrt[4]{x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 256$: $$ f'(256) = \frac{5}{4} \sqrt[4]{256} = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5 $$ 2) Преобразуем функцию $f(x) = \sqrt[8]{x\sqrt{x}}$, используя свойства корней и степеней: $$ f(x) = \sqrt[8]{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[8]{x^{\frac{3}{2}}} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{3}{16}} $$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(x^{\frac{3}{16}}\right)' = \frac{3}{16} x^{\frac{3}{16} - 1} = \frac{3}{16} x^{-\frac{13}{16}} = \frac{3}{16 \sqrt[16]{x^{13}}} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{3}{16} \cdot 1^{-\frac{13}{16}} = \frac{3}{16} \cdot 1 = \frac{3}{16} $$ Ответ: 1) $5$; 2) $\frac{3}{16}$.