ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 29 - 29.2

1) $z^2 + 25 = 0$ Перенесем свободный член в правую часть: $$ z^2 = -25 $$ Так как $i^2 = -1$, запишем правую часть в виде $-25 = 25i^2 = (5i)^2$: $$ z = \pm 5i $$ Ответ: $z_1 = 5i$, $z_2 = -5i$. --- 2) $z^2 - 10z + 41 = 0$ Найдем дискриминант уравнения ($a = 1$, $b = -10$, $c = 41$): $$ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 100 - 164 = -64 $$ Так как $-64 = 64i^2$, то $\sqrt{D} = \pm 8i$. Найдем корни уравнения: $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8i}{2} = 5 \pm 4i $$ Ответ: $z_1 = 5 + 4i$, $z_2 = 5 - 4i$. --- 3) $z^2 + 2(i - 6)z + 30 = 0$ Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 2(i - 6)$, $c = 30$. Воспользуемся формулой корней через четверть дискриминанта ($k = \frac{b}{2} = i - 6$): $$ D_1 = k^2 - ac = (i - 6)^2 - 1 \cdot 30 = i^2 - 12i + 36 - 30 = -1 - 12i + 6 = 5 - 12i $$ Найдем комплексное число $w = x + iy$ ($x, y \in \mathbb{R}$), такое что $w^2 = D_1$: $$ (x + iy)^2 = 5 - 12i $$ $$ x^2 - y^2 + 2xyi = 5 - 12i $$ Приравняем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ 2xy = -12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = -\frac{6}{x}$. Подставим в первое уравнение: $$ x^2 - \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 5 $$ $$ x^2 - \frac{36}{x^2} = 5 $$ $$ x^4 - 5x^2 - 36 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$: $$ t^2 - 5t - 36 = 0 $$ По теореме Виета корни: $t_1 = 9$, $t_2 = -4$ (не удовлетворяет условию $t \ge 0$). Возвращаемся к переменной $x$: $$ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ Если $x = 3$, то $y = -\frac{6}{3} = -2$, откуда $w = 3 - 2i$. Корни уравнения находим по формуле $z = -k \pm w$: $$ z_1 = -(i - 6) + (3 - 2i) = 6 - i + 3 - 2i = 9 - 3i $$ $$ z_2 = -(i - 6) - (3 - 2i) = 6 - i - 3 + 2i = 3 + i $$ Ответ: $z_1 = 9 - 3i$, $z_2 = 3 + i$. --- 4) $z^2 - 2z - 7 - 6i = 0$ Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -2$, $c = -7 - 6i$. Используем четверть дискриминанта ($k = \frac{b}{2} = -1$): $$ D_1 = k^2 - ac = (-1)^2 - 1 \cdot (-7 - 6i) = 1 + 7 + 6i = 8 + 6i $$ Найдем комплексное число $w = x + iy$ ($x, y \in \mathbb{R}$), такое что $w^2 = D_1$: $$ (x + iy)^2 = 8 + 6i $$ $$ x^2 - y^2 + 2xyi = 8 + 6i $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ 2xy = 6 \end{cases} $$ Из второго уравнения: $xy = 3 \implies y = \frac{3}{x}$. Подставим в первое уравнение: $$ x^2 - \frac{9}{x^2} = 8 $$ $$ x^4 - 8x^2 - 9 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$: $$ t^2 - 8t - 9 = 0 $$ По теореме Виета корни: $t_1 = 9$, $t_2 = -1$ (не удовлетворяет условию $t \ge 0$). Тогда: $$ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ Если $x = 3$, то $y = \frac{3}{3} = 1$, откуда $w = 3 + i$. Находим корни уравнения $z = -k \pm w$: $$ z_1 = 1 + (3 + i) = 4 + i $$ $$ z_2 = 1 - (3 + i) = -2 - i $$ Ответ: $z_1 = 4 + i$, $z_2 = -2 - i$.