ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 28 - 28.8

### 1) $(1 - i)^{14}$ Представим комплексное число $z = 1 - i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. 1. Найдем модуль числа $z$: $$ r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $$ 2. Найдем аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Точка лежит в IV координатной четверти, следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{4}$. Тригонометрическая форма числа: $$ 1 - i = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) $$ 3. Применим формулу Муавра $z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$: $$ (1 - i)^{14} = (\sqrt{2})^{14} \left(\cos\left(14 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i \sin\left(14 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right) $$ $$ (\sqrt{2})^{14} = (2^{1/2})^{14} = 2^7 = 128 $$ $$ 14 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{7\pi}{2} = -4\pi + \frac{\pi}{2} $$ С учетом периодичности тригонометрических функций: $$ \cos\left(-\frac{7\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0 $$ $$ \sin\left(-\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$ Получаем: $$ (1 - i)^{14} = 128 (0 + i \cdot 1) = 128i $$ *(Замечание: значение также легко находится через возведение в квадрат: $(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$, тогда $((1 - i)^2)^7 = (-2i)^7 = (-2)^7 \cdot i^7 = -128 \cdot (-i) = 128i$.)* **Ответ:** $128i$ --- ### 2) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)^{15}$ Пусть $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$. 1. Найдем модуль числа $z$: $$ r = |z| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1 $$ 2. Найдем аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{6} $$ Тригонометрическая форма числа: $$ z = \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} $$ 3. Применим формулу Муавра при $n = 15$: $$ z^{15} = \cos\left(15 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(15 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{5\pi}{2} + i \sin\frac{5\pi}{2} $$ Так как $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$: $$ \cos\frac{5\pi}{2} = \cos\frac{\pi}{2} = 0 $$ $$ \sin\frac{5\pi}{2} = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$ Следовательно: $$ z^{15} = 0 + 1 \cdot i = i $$ **Ответ:** $i$ --- ### 3) $\left(\frac{5}{13} - \frac{12}{13}i\right)^{10}$ Пусть $z = \frac{5}{13} - \frac{12}{13}i$. 1. Найдем модуль числа $z$: $$ r = |z| = \sqrt{\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(-\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{169} + \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{169}{169}} = 1 $$ 2. Найдем аргумент $\varphi$: $$ \cos \varphi = \frac{5}{13}, \quad \sin \varphi = -\frac{12}{13} $$ Точка с такими координатами лежит в IV четверти, поэтому аргумент числа равен $\varphi = -\arccos\frac{5}{13}$ (или $\varphi = -\arcsin\frac{12}{13}$). 3. Запишем число в тригонометрической форме и применим формулу Муавра при $n = 10$: $$ z = \cos \varphi + i \sin \varphi $$ $$ z^{10} = \cos(10\varphi) + i \sin(10\varphi) $$ Подставив $\varphi = -\arccos\frac{5}{13}$ и используя четность косинуса и нечетность синуса, получаем: $$ z^{10} = \cos\left(10\arccos\frac{5}{13}\right) - i \sin\left(10\arccos\frac{5}{13}\right) $$ **Ответ:** $\cos(10\varphi) + i \sin(10\varphi)$, где $\varphi = -\arccos\frac{5}{13}$ (или $\cos\left(10\arccos\frac{5}{13}\right) - i \sin\left(10\arccos\frac{5}{13}\right)$)