ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 28 - 28.6

1) Преобразуем выражение, воспользовавшись формулой Муавра для возведения комплексного числа в степень: $$ (\cos \varphi + i\sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi) $$ Сначала возведем выражение в скобках в четвертую степень: $$ \left(\cos\frac{\pi}{24} + i\sin\frac{\pi}{24}\right)^4 = \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{24}\right) = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ z = \left(\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right)^5 $$ Теперь возведем полученное число в пятую степень: $$ z = (\sqrt{2})^5 \cdot \left(\cos\left(5 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) = 4\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) $$ Число записано в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = 4\sqrt{2} > 0$ и $\varphi = \frac{5\pi}{6}$. **Ответ:** $z = 4\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$. --- 2) Применим формулу Муавра для возведения в пятую степень выражения в скобках: $$ \left(\cos\frac{\pi}{15} + i\sin\frac{\pi}{15}\right)^5 = \cos\left(5 \cdot \frac{\pi}{15}\right) + i\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{15}\right) = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} $$ Подставим результат во внутреннюю часть выражения: $$ z = \left(-2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\right)^5 $$ Представим число $-2$ в тригонометрической форме: $$ -2 = 2(\cos\pi + i\sin\pi) $$ Тогда выражение в скобках примет вид: $$ 2(\cos\pi + i\sin\pi)\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) $$ Возведем полученное число в пятую степень: $$ z = \left(2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right)^5 = 2^5 \left(\cos\left(5 \cdot \frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(5 \cdot \frac{4\pi}{3}\right)\right) = 32\left(\cos\frac{20\pi}{3} + i\sin\frac{20\pi}{3}\right) $$ Выделим полные периоды $2\pi$ из аргумента: $$ \frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3} = 3 \cdot 2\pi + \frac{2\pi}{3} $$ Используя периодичность тригонометрических функций, получаем: $$ \cos\frac{20\pi}{3} = \cos\frac{2\pi}{3}, \quad \sin\frac{20\pi}{3} = \sin\frac{2\pi}{3} $$ Следовательно: $$ z = 32\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) $$ **Ответ:** $z = 32\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$.