ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 26 - 26.5

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части. 1) $5x - 7yi = 2 + 3i$ Приравняем действительные и мнимые части обеих частей равенства: $$ \begin{cases} 5x = 2, \\ -7y = 3 \end{cases} $$ Отсюда находим: $$ \begin{cases} x = \dfrac{2}{5}, \\ y = -\dfrac{3}{7} \end{cases} $$ Ответ: $x = \dfrac{2}{5}$; $y = -\dfrac{3}{7}$. --- 2) $6x - y^2i = -1 - 4i$ Приравняем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} 6x = -1, \\ -y^2 = -4 \end{cases} $$ Решим полученную систему: $$ \begin{cases} x = -\dfrac{1}{6}, \\ y^2 = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -\dfrac{1}{6}, \\ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \end{cases} $$ Ответ: $x = -\dfrac{1}{6}$, $y = 2$ или $x = -\dfrac{1}{6}$, $y = -2$. --- 3) $(x + 3y^2i) - (2y - xi) = 1 + 6i$ Раскроем скобки в левой части и сгруппируем слагаемые, выделив действительную и мнимую части: $$ (x - 2y) + (3y^2 + x)i = 1 + 6i $$ Приравняем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ x + 3y^2 = 6 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 1 + 2y$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (1 + 2y) + 3y^2 = 6 $$ $$ 3y^2 + 2y - 5 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $$ $$ y_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ $$ y_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} $$ Найдем соответствующие значения $x$: - при $y_1 = 1$: $$ x_1 = 1 + 2 \cdot 1 = 3 $$ - при $y_2 = -\dfrac{5}{3}$: $$ x_2 = 1 + 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 1 - \frac{10}{3} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} $$ Ответ: $x = 3$, $y = 1$ или $x = -2\dfrac{1}{3}$, $y = -1\dfrac{2}{3}$.