ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 24 - 24.2

Для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях схемы Бернулли наступит ровно $m$ успехов, используется формула Бернулли: $$ P_n(m) = C_n^m p^m q^{n-m} $$ где $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q = 1 - p$ — вероятность неудачи, а $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — число сочетаний из $n$ по $m$. 1) Дано: $n = 8$, $p = \frac{1}{2}$, $m = 3$. Найдем вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ Число сочетаний: $$ C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot (8 - 3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 $$ По формуле Бернулли: $$ P_8(3) = C_8^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8 - 3} = 56 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} \quad (0{,}21875) $$ 2) Дано: $n = 5$, $p = 0{,}2$, $m = 0$. Найдем вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}2 = 0{,}8 $$ Число сочетаний: $$ C_5^0 = 1 $$ По формуле Бернулли: $$ P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^{5 - 0} = 1 \cdot (0{,}2)^0 \cdot (0{,}8)^5 = (0{,}8)^5 = 0{,}32768 $$ 3) Дано: $n = 4$, $p = 70\% = 0{,}7$, $m = 2$. Найдем вероятность неудачи: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}7 = 0{,}3 $$ Число сочетаний: $$ C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 $$ По формуле Бернулли: $$ P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4 - 2} = 6 \cdot (0{,}7)^2 \cdot (0{,}3)^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 6 \cdot 0{,}0441 = 0{,}2646 $$ Ответ: 1) $\frac{7}{32}$ (или $0{,}21875$); 2) $0{,}32768$; 3) $0{,}2646$.