ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.9

1) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = x^3$: $$ F(x) = \frac{x^4}{4} + C $$ По условию график первообразной проходит через точку $M\left(1; \frac{5}{4}\right)$, следовательно, $F(1) = \frac{5}{4}$. Подставим координаты точки в формулу: $$ \frac{1^4}{4} + C = \frac{5}{4} $$ $$ \frac{1}{4} + C = \frac{5}{4} $$ $$ C = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1 $$ Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $$ F(x) = \frac{x^4}{4} + 1 $$ 2) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \cos x$: $$ F(x) = \sin x + C $$ По условию график первообразной проходит через точку $N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right)$, следовательно, $F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{5}{2}$. Подставим координаты точки: $$ \sin \frac{\pi}{6} + C = \frac{5}{2} $$ $$ \frac{1}{2} + C = \frac{5}{2} $$ $$ C = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2 $$ Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $$ F(x) = \sin x + 2 $$ 3) Найдем общий вид первообразных для показательной функции $f(x) = 3^x$: $$ F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C $$ По условию график первообразной проходит через точку $K\left(2; \frac{9}{\ln 3}\right)$, следовательно, $F(2) = \frac{9}{\ln 3}$. Подставим координаты точки: $$ \frac{3^2}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3} $$ $$ \frac{9}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3} $$ $$ C = 0 $$ Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $$ F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} $$ **Ответ:** 1) $F(x) = \frac{x^4}{4} + 1$; 2) $F(x) = \sin x + 2$; 3) $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$.