ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.6

По определению неопределенного интеграла, равенство $\int f(x) \, dx = F(x) + C$ справедливо, если функция $F(x) + C$ является дифференцируемой и её производная равна подынтегральной функции: $(F(x) + C)' = f(x)$. 1) Проверим равенство: $$ \int x \cos x \, dx = \cos x + x \sin x + C $$ Для этого найдем производную функции, стоящей в правой части: $$ (\cos x + x \sin x + C)' = (\cos x)' + (x \sin x)' + (C)' $$ Применим формулы производной тригонометрической функции, производной произведения $(u v)' = u'v + uv'$ и производной постоянной: $$ (\cos x)' = -\sin x $$ $$ (x \sin x)' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x $$ $$ (C)' = 0 $$ Сложим полученные производные: $$ (\cos x + x \sin x + C)' = -\sin x + \sin x + x \cos x + 0 = x \cos x $$ Так как полученная производная совпадает с подынтегральной функцией для всех действительных чисел $x$, равенство верно. 2) Проверим равенство: $$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \sqrt{x^2 + 4} + C $$ Найдем производную функции в правой части равенства: $$ (\sqrt{x^2 + 4} + C)' = (\sqrt{x^2 + 4})' + (C)' $$ Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, где $u = x^2 + 4$: $$ (\sqrt{x^2 + 4})' = \frac{(x^2 + 4)'}{2\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} $$ Учитывая, что $(C)' = 0$, получаем: $$ (\sqrt{x^2 + 4} + C)' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} $$ Производная правой части равна подынтегральной функции при всех действительных $x$, следовательно, равенство верно.