ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.10

**1)** $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$, $F\left(\frac{1}{3}\right) = -9$. Общий вид первообразных функции $f(x) = x^{-2}$ на промежутке $I$: $$ F(x) = -\frac{1}{x} + C $$ По условию $F\left(\frac{1}{3}\right) = -9$. Подставим значение $x = \frac{1}{3}$: $$ -\frac{1}{\frac{1}{3}} + C = -9 $$ $$ -3 + C = -9 $$ $$ C = -9 + 3 = -6 $$ Следовательно, искомая первообразная: $$ F(x) = -\frac{1}{x} - 6 $$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{x} - 6$. --- **2)** $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $I = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}$. Общий вид первообразных функции $f(x)$ на промежутке $I$: $$ F(x) = \operatorname{tg} x + C $$ По условию $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}$. Подставим значение $x = \frac{\pi}{3}$: $$ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} + C = 3\sqrt{3} $$ Так как $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, получаем: $$ \sqrt{3} + C = 3\sqrt{3} $$ $$ C = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$ Следовательно, искомая первообразная: $$ F(x) = \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} $$ **Ответ:** $F(x) = \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3}$. --- **3)** $f(x) = \frac{1}{x}$, $I = (-\infty; 0)$, $F(-e^3) = 7$. Общий вид первообразных функции $f(x)$ имеет вид $F(x) = \ln|x| + C$. На промежутке $(-\infty; 0)$ переменная $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Тогда: $$ F(x) = \ln(-x) + C $$ По условию $F(-e^3) = 7$. Подставим значение $x = -e^3$: $$ \ln(-(-e^3)) + C = 7 $$ $$ \ln(e^3) + C = 7 $$ $$ 3 + C = 7 $$ $$ C = 4 $$ Следовательно, искомая первообразная: $$ F(x) = \ln(-x) + 4 $$ **Ответ:** $F(x) = \ln(-x) + 4$. --- **4)** $f(x) = \frac{1}{x^4}$, $I = (-\infty; 0)$, $F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3$. Общий вид первообразных функции $f(x) = x^{-4}$ на промежутке $I$: $$ F(x) = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C $$ По условию $F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3$. Подставим значение $x = -\frac{1}{2}$: $$ -\frac{1}{3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3} + C = 3 $$ $$ -\frac{1}{3 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)} + C = 3 $$ $$ -\frac{1}{-\frac{3}{8}} + C = 3 $$ $$ \frac{8}{3} + C = 3 $$ $$ C = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} $$ Следовательно, искомая первообразная: $$ F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3} $$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}$.