ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.4

1) $\log_{\frac{1}{7}} x < -1$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, то функция $y = \log_{\frac{1}{7}} t$ является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный: $$ x > \left(\frac{1}{7}\right)^{-1} $$ $$ x > 7 $$ Условие допустимых значений $x > 0$ выполняется автоматически, так как $x > 7 > 0$. Ответ: $(7; +\infty)$. 2) $\log_{4} x > 2$ Так как основание логарифма $4 > 1$, то функция $y = \log_4 t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $$ x > 4^2 $$ $$ x > 16 $$ Условие допустимых значений $x > 0$ выполняется, так как $x > 16 > 0$. Ответ: $(16; +\infty)$. 3) $\lg x < 5$ Основание десятичного логарифма $10 > 1$, следовательно, функция возрастает. Учитывая область допустимых значений ($x > 0$), составим систему неравенств: $$ \begin{cases} x < 10^5 \\ x > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 100\,000 \\ x > 0 \end{cases} $$ $$ 0 < x < 100\,000 $$ Ответ: $(0; 100\,000)$. 4) $\log_{\frac{1}{6}} x > -3$ Основание логарифма $0 < \frac{1}{6} < 1$, значит, функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный. С учётом области допустимых значений аргумента ($x > 0$): $$ \begin{cases} x < \left(\frac{1}{6}\right)^{-3} \\ x > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 6^3 \\ x > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 216 \\ x > 0 \end{cases} $$ $$ 0 < x < 216 $$ Ответ: $(0; 216)$. 5) $\log_{\frac{1}{3}} (2x - 3) \geq -2$ Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный, а подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} 2x - 3 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \\ 2x - 3 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x - 3 \leq 3^2 \\ 2x > 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x \leq 12 \\ x > 1{,}5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \leq 6 \\ x > 1{,}5 \end{cases} $$ $$ 1{,}5 < x \leq 6 $$ Ответ: $(1{,}5; 6]$. 6) $\log_{9} (5x + 6) \leq 2$ Основание логарифма $9 > 1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. С учётом области определения: $$ \begin{cases} 5x + 6 \leq 9^2 \\ 5x + 6 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 5x + 6 \leq 81 \\ 5x > -6 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 5x \leq 75 \\ x > -\frac{6}{5} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \leq 15 \\ x > -1{,}2 \end{cases} $$ $$ -1{,}2 < x \leq 15 $$ Ответ: $(-1{,}2; 15]$.